Teorema de Anderson-Kadec

En matemáticas, en las áreas de la topología y del análisis funcional, el teorema de Anderson-Kadec establece que, dos espacios de Banach separables de dimensión infinita cualesquiera, más generalmente, espacios de Fréchet, son homeomórficos como espacios topológicos. El teorema fue demostrado por Mikhail Kadec (1966) y Richard Davis Anderson.

Enunciado

Todo espacio de Fréchet separable y de dimensión infinita es homeomorfo a ${ℝ}^{\mathbb{N}}$, el Producto cartesiano de muchas copias numerables de la recta real $ℝ$.

Proposiciones preliminares

Norma de Kadec: Una norma $\Vert \cdot \Vert$ sobre un espacio lineal normado $X$ se denomina norma de Kadec con respecto a un subconjunto total $A\subseteq X^{*}$ del espacio dual $X^{*}$ si para cada secuencia $x_n\in X$ se cumple la siguiente condición:

• Si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{*}\left(x_n\right)=x^{*}(x_0)$ para $x^{*}\in A$ y $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x_n\Vert =\Vert x_0\Vert ,$ entonces $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x_n-x_0\Vert =0.$

Teorema de Eidelheit: Un espacio de Fréchet $E$ es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a ${ℝ}^{\mathbb{N}}.$

Teorema de renormación de Kadec: Todo espacio de Banach separable $X$ admite una norma de Kadec con respecto a un subconjunto total contable $A\subseteq X^{*}$ de $X^{*}.$ La nueva norma es equivalente a la norma original $\Vert \cdot \Vert$ de $X$. El conjunto $A$ puede tomarse como cualquier subconjunto contable denso en estrella débil de la bola unitaria de $X^{*}$

Esquema de la demostración

En el argumento siguiente, $E$ denota un espacio de Fréchet separable de dimensión infinita y $\simeq$ la relación de equivalencia topológica (existencia de homeomorfismo).

Un punto de partida de la prueba del teorema de Anderson-Kadec es la prueba de Kadec de que cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita es homeomorfo a ${ℝ}^{\mathbb{N}}$.

A partir del teorema de Eidelheit, basta considerar espacios de Fréchet que no sean isomorfos a un espacio de Banach. En ese caso, tienen un cociente que es isomorfo a ${ℝ}^{\mathbb{N}}$. Un resultado de Bartle-Graves-Michael demuestra que entonces:

$E\simeq Y\times {ℝ}^{\mathbb{N}}$

para algún espacio de Fréchet $Y$.

Por otro lado, $E$ es un subespacio cerrado de un producto infinito contable de espacios de Banach separables $X={\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i$ de espacios de Banach separables. El mismo resultado de Bartle-Graves-Michael aplicado a $X$ da un homeomorfismo

$X\simeq E\times Z$

para algún espacio de Fréchet $Z.$ Según el resultado de Kadec, el producto numerable de espacios de Banach separables de dimensión infinita $X$ es homeomorfo a ${ℝ}^{\mathbb{N}}$.

La demostración del teorema de Anderson-Kadec consiste en la secuencia de equivalencias

$\begin{array}{cc}{ℝ}^{\mathbb{N}}& \simeq (E\times Z{)}^{\mathbb{N}}\\ & \simeq E^{\mathbb{N}}\times Z^{\mathbb{N}}\\ & \simeq E\times E^{\mathbb{N}}\times Z^{\mathbb{N}}\\ & \simeq E\times {ℝ}^{\mathbb{N}}\\ & \simeq Y\times {ℝ}^{\mathbb{N}}\times {ℝ}^{\mathbb{N}}\\ & \simeq Y\times {ℝ}^{\mathbb{N}}\\ & \simeq E\end{array}$

Véase también

• Espacio vectorial topológico metrizable

Bibliografía

• Plantilla:Citation.
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