Producto cartesiano

Produto cartesiano del los conjuntos {x,y,z} y {1,2,3}

En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Ejemplo

Por ejemplo, dados los conjuntos:

$A=\{1,2,3,4\}$

y

$B=\{a,b\}$

su producto cartesiano de A por B es:

$\begin{array}{ccccc}b& (1,b)& (2,b)& (3,b)& (4,b)\\ a& (1,a)& (2,a)& (3,a)& (4,a)\\ A\times B& 1& 2& 3& 4\end{array}$

que se representa:

$A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)\}$

y el producto cartesiano de B por A es:

$\begin{array}{ccc}4& (a,4)& (b,4)\\ 3& (a,3)& (b,3)\\ 2& (a,2)& (b,2)\\ 1& (a,1)& (b,1)\\ B\times A& a& b\end{array}$

que se representa:

$B\times A=\{(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4)\}$

Ver que:

$(1,a)\ne (a,1)$

Dado que son pares ordenados.

Definición

Es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es el «primer elemento» y Plantilla:Math el «segundo elemento». Dados dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos: Plantilla:Definición Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como Plantilla:Math.

El conjunto Plantilla:Math puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son números enteros.

Ejemplos

Números enteros

Sea también el conjunto de todos los números enteros Plantilla:Math. El producto cartesiano de Plantilla:Math consigo mismo es Plantilla:Math, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyos componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Plantilla:Math se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).

Pintura y pinceles

Sean los conjuntos Plantilla:Math de tubos de pintura, y Plantilla:Math de pinceles:

$T=\{$

,

,

,

$\}$

$P=\{$

,

,

,

,

$\}$

El producto cartesiano de estos dos conjuntos, Plantilla:Math, contiene todos los posibles emparejamientos de tubos de pintura y pinceles. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:

Propiedades

El conjunto vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee elementos para construir pares ordenados: Plantilla:Teorema

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo en casos muy especiales. Lo mismo ocurre con la propiedad asociativa. Plantilla:Teorema

Puesto que el producto cartesiano puede representarse como una tabla o un plano cartesiano, es fácil ver que el conjunto producto es el producto de los cardinales de cada factor: Plantilla:Teorema En teoría de conjuntos, la fórmula anterior de cardinal del producto cartesiano como producto de los cardinales de cada factor, sigue siendo cierta utilizando cardinales infinitos.

Generalizaciones

Caso finito

Dado un número finito de conjuntos Plantilla:Math, Plantilla:Math, ..., Plantilla:Math, su producto cartesiano se define como el conjunto n-tuplas cuyo primer elemento está en Plantilla:Math, cuyo segundo elemento está en Plantilla:Math, etc. Plantilla:Definición Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2, como Plantilla:Math, etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta generalización puede construirse a partir de la definición básica como:

$A_1\times \dots \times A_n=A_1\times (A_2\times (\dots \times A_n)\dots )$

o construcciones similares.

Caso infinito

En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la «entrada Plantilla:Math-ésima»: Plantilla:Definición donde Plantilla:Math denota la unión de todos los Plantilla:Math. Dado un Plantilla:Math, la proyección sobre la coordenada Plantilla:Math es la aplicación:

${\pi }_j:\prod _{i\in I}{A}_i\to A_j,{\pi }_j(f)=f(j)$

En el caso de una familia finita de conjuntos Plantilla:Math indexada por el conjunto Plantilla:Math, según la definición de n-tupla que se adopte, o bien las aplicaciones Plantilla:Math de la definición anterior son precisamente n-tuplas, o existe una identificación natural entre ambos objetos; por lo que la definición anterior puede considerarse como la más general.

Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas aplicaciones no está justificada por las hipótesis más básicas de la teoría de conjuntos. Estas aplicaciones son de hecho funciones de elección cuya existencia solo puede demostrarse en general si se asume el axioma de elección. De hecho, la existencia de funciones de elección (cuando todos los miembros de Plantilla:Math son no vacíos) es equivalente a dicho axioma.

Véase también

• Relación binaria
• Producto directo
• Par ordenado
• Tupla
• Potencia de un conjunto

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro