Homomorfismo topológico

En análisis funcional, un homomorfismo topológico o simplemente homomorfismo (si el contexto así lo permite) es un concepto análogo al de homomorfismo en general, pero particularizado para la categoría de los espacios vectoriales topológicos (EVTs). Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional, y el teorema de la función abierta da una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.

Definiciones

Un homomorfismo topológico es una aplicación lineal continua $u : X \to Y$ entre espacios vectoriales topológicos (EVTs) de modo que la aplicación inducida $u : X \to Im u$ es abierta cuando $Im u : = u (X)$ , (que es la imagen de $u$ ), se le da la topología del subespacio inducida por $Y$ .Plantilla:Sfn Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional y el conocido teorema de la función abierta da una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.

Un embebido de EVTPlantilla:Ancla o un monomorfismo topológicoPlantilla:Sfn es un homomorfismo topológico inyectivo. De manera equivalente, un embebido de EVT es una aplicación lineal que también es un embebido topológico.

Caracterizaciones

Supóngase que $u : X \to Y$ es un aplicación lineal entre EVTs, teniendo además en cuenta que $u$ se puede descomponer en la composición de las siguientes aplicaciones lineales canónicas:

X \overset{π}{\to} X / \ker u \overset{u_{0}}{\to} Im u \overset{In}{\to} Y

donde $π : X \to X / \ker u$ es la clase de equivalencia canónica y $In : Im u \to Y$ es la aplicación inclusiva.

Los siguientes enunciados son equivalentes:

$u$ es un homomorfismo topológico
Para cada base del entorno del origen $𝒰$ en $X$ , $u (𝒰)$ es una base del entorno del origen en $Y$ .Plantilla:Sfn
La aplicación inducida $u_{0} : X / \ker u \to Im u$ es un isomorfismo de EVTs.Plantilla:Sfn

Si además el rango de $u$ es un espacio de Hausdorff de dimensión finita, entonces las proposiciones siguientes son equivalentes:

$u$ es un homomorfismo topológico.
$u$ es continuo.Plantilla:Sfn
$u$ es continuo en el origen.Plantilla:Sfn
$u^{- 1} (0)$ está cerrado en $X$ .Plantilla:Sfn

Condiciones suficientes

Plantilla:Teorema

Teorema de la aplicación abierta

El teorema de la aplicación abierta, también conocido como teorema de homomorfismo de Banach, proporciona una condición suficiente para que un operador lineal continuo entre EVTs metrizables completos sea un homomorfismo topológico.

Plantilla:Teorema

Ejemplos

Cada operador lineal continuo en un EVT es un homomorfismo topológico.Plantilla:Sfn

Sea $X$ un EVT de dimensión $1$ sobre el cuerpo $𝕂$ y sea $x \in X$ distinto de cero. Ahora, considérese que $L : 𝕂 \to X$ se defina por $L (s) : = s x$ . Si $𝕂$ tiene su topología euclídea habitual y si $X$ es de Hausdorff, entonces $L : 𝕂 \to X$ es un isomorfismo de EVT.

Véase también

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Plantilla:Control de autoridades

Homomorfismo topológico

Sumario

Definiciones

Caracterizaciones

Condiciones suficientes

Teorema de la aplicación abierta

Ejemplos

Véase también

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Condiciones suficientes

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