Conjunto polar (teoría del potencial)

En matemáticas, en el área de la teoría del potencial clásico, los conjuntos polares son aquellos "conjuntos insignificantes", similar a la forma en que los conjuntos de medida cero son los conjuntos negligibles en la teoría de la medida.

Definición

Un conjunto $Z$ en ${ℝ}^n$ (donde $n\ge 2$) es un conjunto polar si existe una función superarmónica no constante

$u$ en ${ℝ}^n$

tal que

$Z\subseteq \{x:u(x)=\mathrm{\infty }\}.$

Téngase en cuenta que existen otras formas (equivalentes) en las que se pueden definir los conjuntos polares, como reemplazando "subarmónico" por "superarmónico" y $-\mathrm{\infty }$ por $\mathrm{\infty }$ en la definición anterior.

Propiedades

Las propiedades más importantes de los conjuntos polares son:

• Un conjunto unitario establecido en ${ℝ}^n$ es polar.
• Un conjunto contable en ${ℝ}^n$ es polar.
• La unión de una colección contable de conjuntos polares es polar.
• Un conjunto polar tiene medida de Lebesgue cero en ${ℝ}^n.$

Casi en todas partes

Una propiedad P se cumple casi en todas partes en un conjunto S si se cumple en S−E, donde E es un conjunto polar de Borel. Si P se cumple aproximadamente en todas partes, entonces se cumple casi en todas partes.

Véase también

• Conjunto pluripolar

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Plantilla:Planetmath reference