Medida (matemáticas)

En matemáticas, el concepto de medida es la generalización y formalización de las medidas geométricas y otras nociones como la probabilidad de los sucesos aleatorios. La medida es un concepto fundamental en teoría de la medida y teoría de la probabilidad.

Definición

Plantilla:Definición La terna $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ se denomina espacio de medida.

Ejemplos

• Medida contadora: la terna $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }),\mu )$ es un espacio de medida, donde:

  $\mu (A)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\#}A& \text{si }A\ne \mathrm{\varnothing }\\ 0& \text{si }A=\mathrm{\varnothing }\end{array},\mathrm{\forall }A\subseteq \mathrm{\Omega }$.

  donde $\mathrm{\#}A$ denota el número de elementos de $A$.

• Medida de Dirac: fijado un elemento $\omega \in \mathrm{\Omega }$ la terna $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }),{\delta }_{\omega })$ es un espacio de medida, donde:

  ${\delta }_{\omega }(A)=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }\omega \in A\\ 0& \text{si }\omega \notin A\end{array},\mathrm{\forall }A\subseteq \mathrm{\Omega }$.

• Medida de Lebesgue: definida en $({ℝ}^n,ℳ)$, (donde $ℳ$ es la $\sigma$-álgebra de Lebesgue), es la única medida invariante por traslaciones que extiende la noción de longitud de los intervalos en $ℝ$.

Medida exterior

Toda medida definida en $𝒫(\mathrm{\Omega })$ es medida exterior, pero el recíproco no es cierto.

El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir medidas a partir de ellas: Plantilla:Teorema

Además, si ${\mu }^{*}(E)=0$, entonces $E\in ℳ$ (y naturalmente $\mu (E)=0$), lo que implica que $(\mathrm{\Omega },ℳ,\mu )$ es un espacio de medida completo.

Véase también

• σ-álgebra.
• Espacio medible.
• Espacio de medida.
• Teoría de la medida.

Referencias

Bibliografía

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
• Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
• A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, París, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.