Número armónico

El número armónico $H_{n,1}$ con $n=\lfloor x\rfloor$ (gráfica roja) con su límite asintótico $\gamma +\log x$ (gráfica azul).

En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales:

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$

Este también es igual a n veces el inverso de la media armónica.

Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.

Representación

La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler:

$H_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx.$

En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1},$

y luego

$x^n+\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

dentro de la integral.

Para los números naturales, H_n también se puede representar como:

$H_n=\sum _{k=0}^{n-1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{k}dx$

H_n crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx$

cuyo valor es log(n). Concretamente, tenemos el siguiente límite:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n-\log (n)=\gamma$

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).

Y también, como la correspondiente expansión asintótica:

$H_n=\gamma +\log n+\frac{1}{2}{n}^{-1}-\frac{1}{12}{n}^{-2}+\frac{1}{120}{n}^{-4}+𝒪(n^{-6})$

Funciones generatrices

Una función generatriz que indexa los números armónicos es

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{H}_n=\frac{-\log (1-z)}{1-z},$

donde $\log (z)$ es el logaritmo natural. Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}{H}_n=-e^z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\frac{(-z{)}^k}{k!}=e^z\text{Ein}(z)$

donde $\text{Ein}(z)$ es la integral exponencial entera. Nótese que

$\text{Ein}(z)={\text{E}}_1(z)+\gamma +\log z=\mathrm{\Gamma }(0,z)+\gamma +\log z$

donde $\mathrm{\Gamma }(0,z)$ es la función gamma incompleta.

Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma:

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma .$

Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n. Los números armónicos también son utilizados frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-\log (n+\frac{1}{2}))$

este converge más rápidamente.

En 2001 Jeffrey Lagarias probó que la hipótesis de Riemann es equivalente a decir que:

$\sigma (n)\le H_n+e^{H_n}\log (H_n),$

es cierto para cualquier número entero n ≥ 1 con la desigualdad estricta si n > 1; Aquí σ(n) denota la suma de los divisores de n.

Generalizaciones

Números armónicos generalizados

Los Números armónicos generalizados de orden n de m están dados por la expresión:

$H_{n,m}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^m}$

Nótese que el límite cuando n tiende a infinito existe si m > 1.

Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son:

$H_{n,m}=H_n^{(m)}=H_m(n)$

El caso especial de m = 1 es simplemente el n-ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

En el límite, cuando $n\to \mathrm{\infty }$, los números armónicos generalizados convergen a la función zeta de Riemann.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_{n,m}=\zeta (m)$

Al igual que en la suma $\sum _{k=1}^n{k}^m$ aparecen los números de Bernoulli, en los números armónicos generalizados aparecen los números de Stirling.

Una función generatriz para los números armónicos generalizados es:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{H}_{n,m}=\frac{{\text{Li}}_m(z)}{1-z}$

donde ${\text{Li}}_m(z)$ es el polilogaritmo, y $|z|<1$. La función generatriz dada arriba, es un caso especial de esta fórmula cuando m = 1.

Generalización al plano complejo

De la fórmula integral de Euler para los números armónicos se obtiene la siguiente identidad:

$\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^s}{1-x}dx=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(a-1{)}^k$

la cual se cumple para un número complejo s general, utilizando una extensión adecuada de los coeficientes binomiales. Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie) para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo. Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(-x{)}^k=(1-x{)}^s$

concretamente, del binomio generalizado de Newton. La función interpolada es justamente la función digamma, así:

$\psi (s+1)+\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^s}{1-x}dx$

donde ψ(x) es la función digamma, y γ es la constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener

$H_{s,2}=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})H_k$

Referencias

• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150-161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 - 100
• Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) Mathematics Magazine, 75 (2) pp 95-103.
• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.
• Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities, (2003) Adv. in Appl. Math. 31(2), pp. 359-378.
• Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers, (2004) The Electronic Journal of Combinatorics, 11, #N15.

Enlaces externos

• http://www.EulerArchive.org (en inglés)
• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes, E43 (en latín) [1]
• Ed Sandifer: "How Euler Did It.Gamma the constant" (en inglés) [2]
• Ed Sandifer, How Euler Did It.Estimating the Basel problem (en inglés) [3]
• Plantilla:MathWorld