Números de Stirling

En matemáticas, los números de Stirling resuelven algunos problemas del área de combinatoria. Su nombre se debe a James Stirling, quien los popularizó en el Plantilla:Siglo. Existen dos diferentes conjuntos de números con este nombre: números de Stirling de primera especie y números de Stirling de segunda especie. Fueron descubiertos nuevamente por Masanobu Saka en 1782, quien les otorgó su relevancia en combinatoria en su libro Sanpo-Gakkai (El mar del aprendizaje matemático).Plantilla:Sfn

Notación

Existen diversas formas de denotar los números de Stirling. Los números de Stirling de primera especie se escriben con una s pequeña y los de segunda especie con una S grande (Abramowitz and Stegun usa una mayúscula o una S gótica). Las notaciones más comunes son:

• Los números de Stirling de primera especie ordinarios (signados) se denotan como:

• Los números de Stirling de primera especie no signados se denotan como:

Plantilla:Ecuación Los números de Stirling de segunda especie se denotan como: Plantilla:Ecuación La notación usando llaves y corchetes, en analogía a los coeficientes binomiales, fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promocionada por Donald Knuth; referida a veces como la notación de Karamata.

Números de Stirling de primera especie

Plantilla:AP Los números de Stirling de primera especie son los coeficientes s(n,k) de la expansión: Plantilla:Ecuación donde $(x{)}_n$ (símbolo de Pochhammer) denota el factorial descendente, Plantilla:Ecuación Nótese que (x)₀ = 1 porque es un producto vacío. En combinatoria también se usa la notación $x^{\underset{\_}{n}}$ para el factorial descedente, y $x^{\bar{n}}$ para el factorial ascendente.

Los números de Stirling de primera especie no signados: Plantilla:Ecuación (con una "s" minúscula), cuenta el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos. Las siguiente tabla muestra algunos pocos números de Stirling de primera especie: Plantilla:Ecuación donde Plantilla:Ecuación

Números de Stirling de segunda especie

Plantilla:AP El número de Stirling de segunda especie $S(n,k)$ de formas de dividir un conjunto de n elementos en k partes: Plantilla:Ecuación donde el conjunto ${\mathbb{N}}_n=[1,n]\cap \mathbb{N}$ es el conjunto de los primeros n enteros. Otra notación para los números de Stirling de segunda especie son: Plantilla:Ecuación A continuación se muestra una tabla de valores para los números de Stirling de segunda especie:

n \ k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1

donde: Plantilla:Ecuación

Fórmulas simétricas

Abramowitz y Stegun presentan las siguientes fórmulas simétricas que relacionan los número de Stirling de primera especie con los de segunda especie: Plantilla:Ecuación Y Plantilla:Ecuación

Bibliografía

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• Plantilla:Cita publicación
• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson, James Stirling (1692–1770), (September 1998).