Cuerpo completo

En matemáticas, un cuerpo completo se define como un cuerpo equipado con una métrica y completo con respecto a esa métrica. Los ejemplos básicos incluyen los números reales, los números complejos y las valoraciones (como los números p-ádicos).

Construcciones

Números reales y complejos

Los números reales son el cuerpo con la métrica euclidiana estándar $|x-y|$. Dado que se construye a partir de la completación de $\mathbb{Q}$ con respecto a esta métrica, es un cuerpo completo. Extendiendo los reales a su clausura, se obtiene el cuerpo $ℂ$ (ya que su grupo absoluto de Galois es $\mathbb{Z}/2$). En este caso, $ℂ$ también es un cuerpo completo, pero en muchos otros casos no es así.

Números p-ádicos

Los números p-ádicos se construyen a partir de

$\mathbb{Q}$

usando el valor absoluto p-ádico

$v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)$

donde

$a,b\in \mathbb{Z}.$

Entonces, usando la factorización

$a=p^{n}c$

donde

$p$

no divide a

$c,$

su valoración es el número entero

$n$

. La completación de

$\mathbb{Q}$

por

$v_p$

es el cuerpo completo

${\mathbb{Q}}_p$

llamado números p-ádicos. Este es un caso en el que el cuerpo no está algebraicamente cerrado. Normalmente, el proceso consiste en tomar el cierre separable y luego completarlo nuevamente. Este cuerpo generalmente se denomina

${ℂ}_p.$

Cuerpo funcional de una curva

Para el cuerpo funcional $k(X)$ de una curva $X/k,$ cada punto $p\in X$ corresponde a un valor absoluto, o posición, $v_p$. Dado un elemento $f\in k(X)$ expresado por una fracción $g/h,$ donde $v_p$ mide el orden de desvanecimiento de $g$ en $p$ menos el orden de desvanecimiento de $h$ en $p.$ Entonces, la completación de $k(X)$ en $p$ da un nuevo cuerpo. Por ejemplo, si $X={\mathbb{P}}^1$ en $p=[0:1],$ es el origen en el gráfico afín $x_1\ne 0,$ entonces la completación de $k(X)$ en $p$ es isomorfa al anillo de series de potencias $k((x)).$