Operador covarianza

En teoría de la probabilidad, para una medida de probabilidad P en un espacio de Hilbert H con el producto interno $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, la covarianza de P es la forma bilineal Cov:  H × H → R dada por

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=\underset{H}{\int }⟨x,z⟩⟨y,z⟩\mathrm{d}𝐏(z)$

para todo x e y en H. El operador de covarianza C se define entonces por

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=⟨Cx,y⟩$

Propiedades

A partir del teorema de representación de Riesz, dicho operador existe si Cov está acotada. Dado que la covarianza es simétrica en sus argumentos, el operador de covarianza es autoadjunto. Cuando P es una medida gaussiana centrada, C también es un operador nuclear. En particular, es un operador compacto de clase de traza, es decir, tiene traza finita.

Aún más generalmente, para una medida de probabilidad P en un espacio de Banach B, la covarianza de P es la forma bilineal en el espacio dual B^#, definida por

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=\underset{B}{\int }⟨x,z⟩⟨y,z⟩\mathrm{d}𝐏(z)$

donde $⟨x,z⟩$ es ahora el valor de la función lineal x en el elemento z.

De manera muy similar, la función covarianza de una función de elemento aleatorio con valor de función (en casos especiales se llama proceso estocástico o campo aleatorio) z es

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=\int z(x)z(y)\mathrm{d}𝐏(z)=E(z(x)z(y))$

donde z(x) es ahora el valor de la función z en el punto x, es decir, el valor de la funcional lineal $u\mapsto u(x)$ evaluado en z.

Operador covarianza

El operador covarianza ${\mathrm{C}}_{\mu }:U^{*}\to U^{**}$ de $\mu$ está definido por:

${\mathrm{C}}_{\mu }(\phi )(\xi ):=\underset{U}{\int }[\phi (x)-a_{\mu }(\phi )][\xi (x)-a_{\mu }(\xi )]\mu (\mathrm{d}x)$

para $\phi ,\xi \in U^{*}$, donde $a_{\mu }$ denota el valor esperado de $\mu$

$a_{\mu }(\phi )=\underset{U}{\int }\phi (x)\mu (\mathrm{d}x).$

El operador induce una aplicación simétrica ${\mathrm{Cov}}_{\mu }:U^{*}\times U^{*}\to ℝ$ a través de ${\mathrm{Cov}}_{\mu }(\phi ,\xi ):={\mathrm{C}}_{\mu }(\phi )(\xi )$, que es bilineal y definida, se llama covarianza.

Justificación

Sean $a_{\mu }$ y $\phi$ acotados. Si $U$ es un espacio de Hilbert, entonces según el teorema de representación de Riesz para $\phi \in U^{*}$ se cumple que $\phi (x)=⟨h,x⟩$ para todo $x\in U$ y $h\in U$ y $a_{\mu }=⟨h,m⟩$ para $m\in U$, y por lo tanto

$⟨{\mathrm{C}}_{\mu }{h}_1,h_2⟩=\underset{U}{\int }⟨h_1,x-m⟩⟨h_2,x-m⟩\mu (\mathrm{d}x)$

para todos los $h_1,h_2\in U$.

Véase también

• Espacio de Wiener abstracto
• Teorema de Cameron-Martin
• Teorema de Feldman-Hájek
• Teorema de estructura para medidas gaussianas