Clausura reflexiva

Sea $R$ una relación binaria aplicada sobre un conjunto $A$, la clausura reflexiva o cierre reflexivo de $ℛ$, denotada $CR(ℛ)$, es la relación reflexiva más pequeña aplicada sobre $A$ que contiene a $ℛ$.

En otras palabras, $CR(ℛ)$ es la relación binaria que verifica:

1. $ℛ\subseteq CR(ℛ)$
2. $CR(ℛ)$ es reflexiva
3. Si ${ℛ}^{\prime }$ es una relación reflexiva tal que $ℛ\subseteq {ℛ}^{\prime }$, entonces $CR(ℛ)\subseteq {ℛ}^{\prime }$

Nótese que si $ℛ$ es reflexiva, entonces $CR(ℛ)=ℛ$.

Cómo calcularla

Si la relación está dada por su matriz booleana asociada, la clausura reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal.

1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1

Esta última sería la matriz asociada la clausura reflexiva. A partir de esta matriz la relación $CR(ℛ)$ se construye trivialmente.

Ejemplo

Como ejemplo, si $$X=\{1,2,3,4\}$$ $$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$$ entonces la relación $R$ ya es reflexiva en sí misma, por lo que no difiere de su cierre reflexivo.

Sin embargo, si alguno de los pares en $R$ estuviera ausente, se insertaría para el cierre reflexivo. Por ejemplo, si en el mismo conjunto $X$ $$R=\{(1,1),(2,2),(4,4)\}$$ entonces el cierre reflexivo es $$S=R\cup \{(x,x):x\in X\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}.$$

Véase también

• Clausura simétrica
• Clausura transitiva