Diferencial total

En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si $z=z(x,y)$ una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\in {\mathrm{\Lambda }}^1({ℝ}^2)$

Representación

En cálculo vectorial, la diferencial total de una función $f:{ℝ}^n\to ℝ$ se puede representar de la siguiente manera:

$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$

donde f es una función $f=f(x_1,x_2,....,x_n)$.

Derivada total

La derivada total viene de derivar una función $f$ que tiene variables $(x,y,z)$ que dependen de otras variables $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$. En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x^{\prime }+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y^{\prime }+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot z^{\prime }$

donde x' es la derivada respecto a t de x, $x^{\prime }=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo $f(t,x,x^{\prime })$ que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo $x=x(t),x^{\prime }=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ Entonces derivar respecto al tiempo queda

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x^{\prime }+\frac{\partial f}{\partial x^{\prime }}\cdot x^{″}$

1 Ejemplo

Una función sencilla:

$y=x^2+3x+58$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x+3$

$\mathrm{d}y=(2x+3)\mathrm{d}x$

2 Ejemplo

Un ejemplo más complejo e ilustrativo:

$z=f(x,y)=x^3+\sin (y)$

$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\cos (y)$

$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=3x^2\mathrm{d}x+\cos (y)\mathrm{d}y$

Ecuaciones en diferenciales totales

Dadas $P:A\subseteq {ℝ}^2⟶ℝ,Q:B\subseteq {ℝ}^2⟶ℝ$ dos funciones con $\frac{\partial P}{\partial y}$ y $\frac{\partial Q}{\partial x}$ continuas en algún subconjunto de APlantilla:Esd∩Plantilla:EsdB, si se supone a este último no vacío. Plantilla:Definición

Puede demostrarse que el primer miembro de esta ecuación es una diferencial total si y solo si Plantilla:Ecuación

Estas ecuaciones también se llaman ecuación diferencial exacta.

Véase también

• Ecuación diferencial
• Cálculo diferencial

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld