Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,$

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{\partial N}{\partial x}$ son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función $F(x,y)$ tal que:

$dF(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy$

donde $\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)$ y $\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)$.

Dado que $F(x,y)$ es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}$.

Método de resolución

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

$F(x,y)=\int Mdx+g(y)=\int Ndy+g(x)$

• Para despejar la función g se deriva $F(x,y)$ con respecto a la variable independiente de g.

$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(\int Mdx)+\frac{\partial g(y)}{\partial y}$

$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\int Ndy)+\frac{\partial g(x)}{\partial x}$

• Se iguala la derivada parcial recién calculada de $F(x,y)$ con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g; de este modo se encontrará la función g.

$N=\frac{\partial }{\partial y}(\int Mdx)+\frac{\partial g(y)}{\partial y}$

$g(y)=\int Ndy-\int \left[\frac{\partial }{\partial y}(\int Mdx)\right]dy$

$M=\frac{\partial }{\partial x}(\int Ndy)+\frac{\partial g(x)}{\partial x}$

$g(x)=\int Mdx-\int \left[\frac{\partial }{\partial x}(\int Ndy)\right]dx$

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general $F(x,y)$.

$F(x,y)=\int Mdx+\int Ndy-\int \left[\frac{\partial }{\partial y}(\int Mdx)\right]dy=C$

$F(x,y)=\int Ndy+\int Mdx-\int \left[\frac{\partial }{\partial x}(\int Ndy)\right]dx=C$

Factor integrante

Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial $\mu (x,y)$ llamada factor integrante, tal que:

$\mu (x,y)M(x,y)dx+\mu (x,y)N(x,y)dy=0$ sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante sólo en función de x.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (x)$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (x)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}dx}$

Cabe decir que para que $\mu (x)$ exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro $\frac{M_y-N_x}{N}$ tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que $M_y$ y $N_x$ equivalen a las parciales de estas; $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{\partial N}{\partial x}$ respectivamente).

Ejemplo: $(3x^{2}y+x^{3}y+5y^2)dx+(x^3+10y)dy=0$, entonces $\frac{M_y-N_x}{N}=1$ y por lo tanto $\mu (x)=e^x$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

$(3x^{2}y+x^{3}y+5y^2)e^{x}dx+(x^3+10y)e^{x}dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)=(x^{3}y+5y^2)e^x=c$

Factor integrante sólo en función de y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (y)$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}dy}$

Ejemplo: $(3x^{2}y+y^2)dx+(y^2-x^3)dy=0$, entonces $\frac{N_x-M_y}{M}=\frac{-2}{y}$ y por lo tanto $\mu (y)=\frac{1}{y^2}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

$(1+3\frac{x^2}{y})dx+(1-\frac{x^3}{y^2})dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)=x+y+\frac{x^3}{y}=c$

Factor integrante sólo en función de x+y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (x+y)$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (x+y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M-N}dz}$ Con $z=x+y$

Ejemplo: $(3xy-y^2)dx+(x^2-4y^2+xy)dy=0$, entonces $\frac{N_x-M_y}{M-N}=\frac{1}{x+y}$ y por lo tanto $\mu (x+y)=x+y$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

$[(x+y)(3xy-y^2)]dx+[(x+y)(x^2-4y^2+xy)]dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)=(x+y{)}^2(xy-y^2)=c$

Factor integrante sólo en función de x·y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (xy)$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (xy)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N*y-M*x}dz}$ Con $z=x\cdot y$

Donde $M*x=$ M·x

Cabe mencionar que:

$M_y=\frac{\partial M}{\partial y},N_x=\frac{\partial N}{\partial x}$

Ejemplo: $(y+x^{3}y+2x^2)dx+(x+4x{y}^4+8y^3)dy=0$, entonces $\frac{M_y-N_x}{N.y-M.x}=\frac{-1}{xy+2}$ y por lo tanto $\mu (xy)=\frac{1}{xy+2}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

$\frac{y+x^{3}y+2x^2}{xy+2}dx+\frac{x+4x{y}^4+8y^3}{xy+2}dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)=\frac{1}{3}{x}^3+y^4+\ln (xy+2)=c$

Factor integrante sólo en función de $x^2+y^2$

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma $\mu (x^2+y^2)$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

$\mu (xy)=e^{\frac{1}{2}\int \frac{M_y-N_x}{N*x-M*y}dz}$ Con $z=x^2+y^2$

Ejemplo: $(x-y)dx+(x+y)dy=0$, entonces $\frac{M_y-N_x}{N.x-M.y}=\frac{-2}{x^2+y^2}$ y por lo tanto $\mu (x^2+y^2)=\frac{1}{x^2+y^2}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

$\frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{x^2+y^2}dy=0$

La solución general viene dada implícitamente por: $F(x,y)=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)-\arctan \left(\frac{x}{y}\right)=c$

Bibliografía

• Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
• Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
• Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también

• Ecuación diferencial
• Ecuación diferencial de primer orden