Teorema de los residuos

El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.

Enunciado

Sea $f : D \subset ℂ \to ℂ$ una función analítica en un dominio simplemente conexo $D$ , excepto en un número finito de puntos $z_{k}$ que constituyen singularidades aisladas de $f$ . Sea $C$ una curva en $D$ , simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de $f$ . Entonces se tiene:

Plantilla:Ecuación

donde $Res (f, z_{k})$ es el Residuo de la función $f$ en el punto singular $z_{k}$ .

Demostración

Sea $f$ holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial $f (z) d z$ es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral $\int_{C} f (z) d z$ es igual a $\int_{C^{'}} f (z) d z$ siempre que $C^{'}$ sea una curva homotópica con $C$ .

En específico, se puede considerar una curva tipo $C^{'}$ la cual tiene una rotación alrededor de los puntos $a_{j}$ sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva $C^{'}$ sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de $f$ alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea $z = a_{j} + ρ e^{i θ}$ parametrización de la curva alrededor del punto $a_{j}$ , entonces se tiene $d z = ρ i e^{i θ} d θ$ , por lo tanto:

Plantilla:Ecuación

donde $ρ > 0$ , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas $B_{ρ} (a_{j})$ están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio $U$ . Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda $j$ :