Función holomorfa

Gráfico tridimensional del valor absoluto de la función gamma compleja

Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto del plano complejo $ℂ$ y con valores en $ℂ$, que son complejo-diferenciables en algún entorno de un punto de su dominio. En este caso se dice que la función es holomorfa en ese punto. Si la función es holomorfa en cada punto de su dominio, se dice que es holomorfa en su dominio. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor.

El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares. Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se denomina función entera. La frase "holomorfa en un punto Plantilla:Math" significa no sólo diferenciable en Plantilla:Math, sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de Plantilla:Math en el plano complejo.

Definición

La función Plantilla:Math no es diferenciable compleja en cero, porque como se ha visto anteriormente, el valor de Plantilla:Math varía dependiendo de la dirección desde la que se aproxima a cero. A lo largo del eje real, Plantilla:Mvar es igual a la función Plantilla:Math} y el límite es Plantilla:Math, mientras que a lo largo del eje imaginario, Plantilla:Mvar es igual a Plantilla:Math} y el límite es Plantilla:Math. Otras direcciones dan aún otros límites.

Dada una función de valor complejo Plantilla:Mvar de una sola variable compleja, la derivada de Plantilla:Mvar en un punto Plantilla:Math de su dominio se define como el límite.

La definición/función es la siguiente: Plantilla:Ecuación Este límite se toma aquí sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a z₀, y para todas esas sucesiones el cociente de diferencias tiene que dar el mismo número f '(z₀).

Intuitivamente, si f es complejo-diferenciable en z₀ y nos aproximamos al punto z₀ desde la dirección r, entonces las imágenes se acercarán al punto f(z₀) desde la dirección f '(z₀) r, donde el último producto es la multiplicación de números complejos. Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la diferenciabilidad en caso real: es lineal y obedece a las reglas de derivación del producto, del cociente y de la cadena.

Una función es holomorfa en un conjunto abierto Plantilla:Mvar si es diferenciable compleja en cada punto de Plantilla:Mvar. Una función Plantilla:Mvar es holomorfa en un punto Plantilla:Math si es holomorfa en alguna vecindad de Plantilla:Math. Una función es holomorfa en algún conjunto no abierto Plantilla:Mvar si es holomorfa en cada punto de Plantilla:Mvar.

Una función puede ser diferenciable compleja en un punto pero no holomorfa en ese punto. Por ejemplo, la función $f(z)=|z{|}^2=z\bar{z}$ es diferenciable compleja en Plantilla:Math, pero no diferenciable compleja en otro lugar (véase las ecuaciones de Cauchy-Riemann, más adelante). Por lo tanto, es no holomorfa en Plantilla:Math.

Si f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto z₀ en U, se dice que f es holomorfa en U. Es claro que, al igual que en el caso real, si f es holomorfa e inyectiva en U —con inversa continua— entonces $f^{-1}$ es holomorfa y su derivada vale: Plantilla:Ecuación La relación entre la diferenciabilidad real y la diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja Plantilla:Math es holomorfa, entonces Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar tienen primeras derivadas parciales con respecto a Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\text{y}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

o, equivalentemente, la derivada de Wirtinger de Plantilla:Mvar con respecto a $\overline{z},$ el complejo conjugado de $z,$ es cero:

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0,$

lo que equivale a decir que, aproximadamente, Plantilla:Mvar es funcionalmente independiente de $\overline{z},$ el complejo conjugado de Plantilla:Mvar.

Si no se da continuidad, la inversa no es necesariamente cierta. Una simple inversa es que si Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar tienen primeras derivadas parciales continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces Plantilla:Mvar es holomorfa. Un inverso más satisfactorio, que es mucho más difícil de demostrar, es el Teorema de Looman-Menchoff: si Plantilla:Mvar es continua, Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar tienen primeras derivadas parciales (pero no necesariamente continuas), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces Plantilla:Mvar es holomorfa.

Terminología

El término holomorfo fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet, dos de los alumnos de Augustin-Louis Cauchy, y deriva del griego ὅλος (hólos) que significa "todo", y μορφή (morphḗ) que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromórfica derivado de μέρος (méros) que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una función entera ("entera") en un dominio del plano complejo mientras que una función meromorfa (definida como holomorfa excepto en ciertos polos aislados), se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones enteras en un dominio del plano complejo.

Ejemplos

Todas las funciones polinómicas en z con coeficientes complejos son holomorfas sobre C, y también lo son las funciones trigonométricas de z y la función exponencial. (Las funciones trigonométricas están de hecho relacionadas estrechamente con esta última y pueden definirse a partir de ella usando la fórmula de Euler). La rama principal de la función logaritmo es holomorfa sobre el conjunto C - {z ∈ R : z ≤ 0}. La función raíz cuadrada se puede definir como : $\sqrt{z}=e^{\frac{1}{2}\ln z}$ y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(z). La función 1/z es holomorfa sobre {z : z ≠ 0}. Las funciones trigonométricas inversas tienen cortes y son holomorfas en todos los puntos excepto en estos cortes.

Propiedades

• Como la diferenciación compleja es lineal y cumple las mismas reglas del producto, del cociente y de la cadena que en el caso real, se tiene que las sumas, producto, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será donde el denominador sea distinto de cero. Esto es, si $f,g$ son holomorfas en un abierto $U$, también lo son $f+g,f-g,$ y $fg$. Además, $f/g$ es holomorfa siempre y cuando $g$ no tenga ceros en $U$; en otro caso es meromorfa.

• La composición de funciones holomorfas es también holomorfa; sea f holomorfa en un en un abierto $U$ y g holomorfa en un abierto $D$, Plantilla:Math, entonces $f\circ g$ es holomorfa en $D$.

• Toda función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia serie de Taylor; esta serie convergerá sobre cada disco abierto que se encuentre dentro del dominio U. Es decir, toda función holomorfa es analítica. La serie de Taylor puede converger en un disco más grande; por ejemplo, la serie de Taylor para el logaritmo converge sobre cada disco que no contenga al 0, incluso en las cercanías de la línea real negativa.

• Si se identifica C con R², entonces las funciones holomorfas son las mismas que aquellas funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son un par de ecuaciones diferenciales parciales.

• Las funciones holomorfas son conformes cerca de los puntos con derivada distinta de cero, en el sentido de que preservan ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.

• Toda función holomorfa puede separarse en sus partes real e imaginaria Plantilla:Math}, y cada una de ellas es una función armónica en Plantilla:Math (cada una satisface la ecuación de Laplace Plantilla:Math), siendo Plantilla:Mvar el conjugado armónico de Plantilla:Mvar. Recíprocamente, toda función armónica Plantilla:Math sobre un dominio simplemente conexo Plantilla:Math es la parte real de una función holomorfa: si Plantilla:Mvar es el conjugado armónico de Plantilla:Mvar, único salvo por una constante, entonces Plantilla:Math es holomorfa.

• El teorema integral de Cauchy afirma que los valores, dentro de un disco, de una función holomorfa, quedan determinados por los valores de la función en la frontera del disco.

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0.$

Aquí Plantilla:Mvar es cualquier camino rectificable en un dominio complejo simplemente conexo Plantilla:Math cuyo punto inicial es igual a su punto final, y Plantilla:Math es una función holomorfa.

• La fórmula integral de Cauchy afirma que toda función holomorfa en el interior de un disco está completamente determinada por sus valores en la frontera del disco. Es más, tenemos una fórmula explícita de cómo la determina: supongamos que Plantilla:Math es un abierto del plano complejo, Plantilla:Math es una función holomorfa y el disco cerrado D = {z : |z − z₀| ≤ r} está completamente contenido en Plantilla:Mvar. Sea Plantilla:Mvar el círculo que forma la frontera de Plantilla:Mvar. Entonces, para cada Plantilla:Mvar en el interior de Plantilla:Mvar:

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-a}dz$

donde la integral de contorno se toma en sentido contrario a las agujas del reloj.

• La derivada Plantilla:Math puede escribirse como una integral de contorno utilizando la fórmula integral de Cauchy:

$f^{\prime }(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-a{)}^2}dz,$

para cualquier bucle simple que se enrolle positivamente una vez alrededor de Plantilla:Mvar, y

$f^{\prime }(a)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\gamma \to a}\frac{i}{2𝒜(\gamma )}{\oint }_{\gamma }f(z)d\overline{z},$

para bucles infinitesimales positivos Plantilla:Mvar alrededor de Plantilla:Mvar.

• En regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomorfas son conformes: preservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.

• Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas sobre un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio vectorial complejo. Además, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto Plantilla:Mvar es un dominio integral si y sólo si el conjunto abierto Plantilla:Mvar es conexo. De hecho, es un espacio vectorial topológico localmente convexo, siendo la seminorma la suprema en un subconjunto compacto.

• Desde una perspectiva geométrica, una función Plantilla:Mvar es holomorfa en Plantilla:Math si y sólo si su derivada exterior Plantilla:Mvar en una vecindad Plantilla:Mvar de Plantilla:Math es igual a Plantilla:Math para alguna función continua Plantilla:Math. Se deduce de

$0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=d{f}^{\prime }\wedge dz$

que Plantilla:Math también es proporcional a Plantilla:Mvar, lo que implica que la derivada Plantilla:Math es a su vez holomorfa y, por tanto, que Plantilla:Mvar es infinitamente diferenciable. Análogamente, Plantilla:Math dz ∧ dz = 0 implica que cualquier función Plantilla:Mvar que sea holomorfa en la región simplemente conexa Plantilla:Mvar es también integrable en Plantilla:Mvar.

(Para un camino Plantilla:Mvar de Plantilla:Math a Plantilla:Mvar enteramente en Plantilla:Mvar, definir $F_{\gamma }(z)=F_0+\underset{\gamma }{\int }fdz;$ a la luz del teorema de la curva de Jordan y del teorema de Stokes generalizado, Plantilla:Math es independiente de la elección particular de la trayectoria Plantilla:Mvar, y por tanto Plantilla:Math es una función bien definida sobre Plantilla:Mvar teniendo Plantilla:Math y Plantilla:Math. )

Véase también

• Biholomorfismo
• Función meromorfa

Bibliografía

• Plantilla:MathWorld