Trinomio

En álgebra, un trinomio es una expresión algebraicas de únicamente tres monomios, sumados o restados.

Ejemplos de trinomios

1. $3x+5y-8z$ con $x$, $y$, $z$ variables.
2. $3t-9s^2+3y^3$ con $t$, $s$, $y$ variables.
3. $P{x}^a+Q{x}^b+R{x}^c$ con $x$ variable, las constantes $a,b,c$ son enteros positivos y $P$, $Q$, $R$ constantes arbitrarias.
4. $x^2-xy+y^2$, trinomio de segundo grado de dos variables homogéneo.
5. $x^2+y^2+z^2$, de tres variables.

Casos diversos

Trinomio cuadrado perfecto

Visualización de la fórmula para un cuadrado y para su trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Trinomio irreducible

• Un trinomio es irreducible en ℚ si no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean números racionales así como $x^2+4x+1$
• Un trinomio es irreducible en ℝ cuando no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean reales así como $x^2+x+1$

Trinomio de segundo grado en una variable

Al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.Plantilla:Cita requerida Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto. El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibniz, en la época moderna.

Ejemplos

Sea:

$12xy+9x^2+4y^2$

Ordenando según las normas del álgebra, de mayor a menor grado de $x$, resulta que:

$9x^2+12xy+4y^2$

Y podemos darnos cuenta de:

$9x^2=(3^2)(x^2)=(3x{)}^2$

$4y^2=(2y{)}^2$

$12xy=2(3x)(2y)$

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

$12xy+9x^2+4y^2={(\sqrt{9x^2}+\sqrt{4y^2})}^2=(3x+2y{)}^2$

Sea:

$\frac{1}{4}{y}^4{z}^2+w^2+w{y}^{2}z$

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ($y$) tenemos:

$\frac{1}{4}{y}^4{z}^2+w{y}^{2}z+w^2$

evaluando el trinomio, vemos que:

$\frac{1}{4}{y}^4{z}^2={\left(\frac{1}{2}{y}^{2}z\right)}^2$

y

$w^2=(w{)}^2$

por último, vemos que

$2\left(\frac{1}{2}{y}^{2}z\right)(w)=w{y}^{2}z$

Entonces, la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio de grado par de una variable

estos trinomios son de la forma:

$m{x}^{2p}+n{x}^p+l$ donde m, n, l son constantes y p es un entero positivo.

Ejemplos

1. $5x^4-3x^2-1/4$, origina una ecuación llamada bicuadrada
2. $-15t^{12}-3/4t^6-13/25$ un trinomio de duodécimo grado

Trinomios usuales

1. $a{x}^2+bx+c$ que igualado a 0 , se conoce como la ecuación general de segundo grado en una variable
2. $x^2+px+q$ si se hace igual a 0 origina la forma reducida de una ecuación de segundo grado
3. $y^3+py+q$ igualando a 0, origina la ecuación cúbica reducida de una variable, a la que se puede aplicar la fórmula de Cardano.
4. $x^2+x+1$ sus ceros son las raíces cúbicas no reales de 1.
5. $x^4+x^2+1$= $(x^2+x+1)\times (x^2-x+1)$. Sus ceros son la raíces cúbicas no reales de 1 y -1, respectivamente.

Aplicaciones

• Los trinomios factorizables en binomios lineales se usan en operaciones con fracciones algebraicas y al calcular el MCM y MCD de expresiones algebraicas enteras
• En la descomposición en fracciones parciales, aparecen binomios lineales y trinomios cuadráticos;

Por ejemplo $\frac{2x+1}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$

Véase también

• Productos notables
• Factorización
• Completar el cuadrado