Binomio

En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios.

Ejemplos

1. $a+b$.
2. $a^2{b}^5{c}^{2}z-b^3{c}^9{d}^2$.
3. $3{\tan }^2\varphi -\frac{b^2}{e^{i\pi \theta }}$: es una diferencia de expresiones trigonométricas.

Binomios notables

1. $x^2+y^2$. Suma de cuadrados.
2. $x^2-y^2$. Diferencia de cuadrados.
3. $x^3+y^3$. Suma de cubos.
4. $x^3-y^3$. Diferencia de cubos.
5. $x^n+y^n$. Suma de n-esimas potencias.
6. $x^n-y^n$. Diferencia de n-ésimas potencias.

Operaciones con binomios

Factor incorrecto

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición: Plantilla:Ecuación

o realizando la operación:

Representación gráfica de la regla de factor común

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).

Ejemplo:

$3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^2-18xy$

O también:

$\begin{array}{ccc}& 4x& -6y\\ \times & & 3x\\ & 12x^2& -18xy\end{array}$

Suma por diferencia

El binomio $a^2-b^2$ puede factorizarse como el producto de dos binomios:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Demostración:

$\begin{array}{ccc}& a& +b\\ \times & a& -b\\ & -ab& -b^2\\ a^2& +ab& \\ a^2& & -b^2\end{array}$b²+a²

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: $a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^n{a}^k{b}^{n-k}$.

Producto de dos binomios lineales

El producto de un par de binomios lineales $(ax+b)$ $(cx+d)$ es:

$(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+axd+bcx+bd=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$

$\begin{array}{ccc}& ax& +b\\ \times & cx& +d\\ & adx& +bd\\ ac{x}^2& +bcx& \\ ac{x}^2& +(ad+bc)x& +bd\end{array}$

Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:$(a+b{)}^n$, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: $(p+q{)}^2$

Cuadrado de un binomio

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo: Plantilla:Ecuación La operación se efectúa del siguiente modo: Plantilla:Ecuación

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma $a^2+2ab+b^2$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo: Plantilla:Ecuación La operación se efectúa del siguiente modo: Plantilla:Ecuación

Ejemplo:

$(2x-3y{)}^2=(2x{)}^2+2(2x)(-3y)+(-3y{)}^2=4x^2-12xy+9y^2$

Aplicación en el cálculo diferencial

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática $y=x^2$, se desarrolla el binomio ${(x+h)}^2=x^2+2xh+h^2$. El coeficiente del término en $h$ que es $2x$ es la derivada de $x^2$. Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de $h$, el término lineal es $2xh$.

Igualmente, para $y=x^3$ se desarrolla $(x+h{)}^3$. En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de $h$ es $3x^2$, que es la derivada de $x^3$.

Véase también

• Teorema del binomio
• Monomio
• Trinomio
• Polinomio
• Factorización
• Productos notables
• Completar el cuadrado

Bibliografía

• Plantilla:Springer
• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Cita libro
• Archivo gratuito para construir tridimensionalmente el cubo del binomio https://www.thingiverse.com/thing:2797705 Plantilla:Wayback