Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación

Considerando la figura podemos escribir: Plantilla:Ecuación

con $\gamma =\alpha +\beta -\pi /2$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: $r_1\alpha =l_1=l_2=r_2\beta$. De aquí se tiene que $\beta =\frac{r_1}{r_2}\alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: $x=(r_1+r_2)\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha -r_2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}[\alpha (1+\frac{r_1}{r_2})]$

$y=(r_1+r_2)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -r_2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[\alpha (1+\frac{r_1}{r_2})]$

Casos particulares

Cuando $\frac{r_1}{r_2}$ es un número racional, i.e., $k=\frac{r_1}{r_2}=\frac{p}{q}$, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=r₂, i.e, $k=1$ obtenemos una cardioide.

Cuando r₁=2r₂, i.e, $k=2$ obtenemos una nefroide.

Ejemplos

• ejemplos de epicicloides
• 
  k=1
• 
  k=2
• 
  k=3
• 
  k=4
• 
  k=2,1=21/10
• 
  k=3,8=19/5
• 
  k=5,5=11/2
• 
  k=7,2=36/5

Curvas cíclicas

Curva cíclica

La directriz es una recta
d = r	d < r	d > r
cicloide	trocoide
cicloide normal	cicloide acortada	cicloide alargada

La directriz es una circunferencia
	d = r	d < r	d > r
La generatriz es exterior a al directriz	epicicloide	epitrocoide
	epicicloide normal	epicicloide acortada	epicicloide alargada
La generatriz es interior a al directriz	hipocicloide	hipotrocoide
	hipocicloide normal	hipocicloide acortada	hipocicloide alargada
La directriz es interior a al generatriz	pericicloide	peritrocoide
	pericicloide normal	pericicloide acortada	pericicloide alargada

Véase también

• Ruleta
• Curva Cicloidal
• Cicloide
• Hipocicloide
• Caracol de Pascal

Referencias en la Web

• Epicicloides, en Descartes
• Epicicloides, en cfnavarra