Hipotrocoide

Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.

La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).

Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.

Ecuaciones

Siendo $q=\frac{a}{b}$ (donde $q>1$) y $d=kb$, con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio a, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:

$z=a=x$ pero x no es igual a A

donde:

$qz=a[(q-1)e^{it}+k{e}^{-i(q-1)t}]$

$q(x+iy)=a(q-1)\cos (t)+ia(q-1)\sin (t)+ak\cos [(q-1)t]-iak\sin [(q-1)t]$

Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:

$qx=a(q-1)\cos (t)+ka\cos [(q-1)t)];$

$qy=a(q-1)\sin (t)-ka\sin [(q-1)t)];$

donde:

$q=\frac{a}{b}$ y $k=\frac{d}{b}$.

Sabiendo que $a=R$, $b=r$ y $t=\theta$, obtenemos las ecuaciones siguientes:

$x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left(\frac{R-r}{r}\theta \right)$

$y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left(\frac{R-r}{r}\theta \right)$

el ángulo $\theta$ varía de 0 a 2π.

Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde $R=2r$.

Las hipocicloides son casos particulares, donde $d=r$ (el punto fijo de la generatriz)

Hipotrocoide alargada (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 3, r = 1, d = 1,5).

Hipotrocoide acortada (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 3, r = 1, d = 0,5.

Aplicaciones

• Los espirografos (son juguetes para dibujar) crean hipotrocoides.
• Las hipotrocoides definen el soporte de los autovalores de matrices aleatorias con correlaciones cíclicas.

Curvas cíclicas

Curva cíclica

La directriz es una recta
d = r	d < r	d > r
cicloide	trocoide
cicloide normal	cicloide acortada	cicloide alargada

La directriz es una circunferencia
	d = r	d < r	d > r
La generatriz es exterior a al directriz	epicicloide	epitrocoide
	epicicloide normal	epicicloide acortada	epicicloide alargada
La generatriz es interior a al directriz	hipocicloide	hipotrocoide
	hipocicloide normal	hipocicloide acortada	hipocicloide alargada
La directriz es interior a al generatriz	pericicloide	peritrocoide
	pericicloide normal	pericicloide acortada	pericicloide alargada

Véase también

• Epitrocoide
• Hipocicloide

Enlaces externos

• Plantilla:Mathworld
• Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques. «Hipotrocoide». Encyclopédie des formes mathématiques remarquables (en francés).
• Plantilla:MacTutor