Tensor de campo electromagnético

En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-contravariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo: Plantilla:Ecuación

Componentes del tensor

El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales. Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz: Plantilla:Ecuación Donde $\varphi$ y A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.

El cuadripotencial es una 1-forma, para ponerlo en correspondencia con un objeto de rango 2 debemos hacer actuar la derivada exterior. Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético: Plantilla:Ecuación Si utilizamos un sistema coordenado de Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma:

$F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$

Si recordamos cómo se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético: Plantilla:Ecuación Por tanto, las componentes del tensor se obtendrán de la siguiente forma: Plantilla:Ecuación Igualmente: Plantilla:Ecuación Para los índices espacial-espacial, tenemos que: Plantilla:Ecuación

Propiedades

1. El tensor es antisimétrico: $F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$
   • Demostración: $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }=-({\partial }^{\nu }{A}^{\mu }-{\partial }^{\mu }{A}^{\nu })=-F^{\nu \mu }$
2. Los términos de la diagonal son nulos: $F^{\mu \mu }=0$
   • Demostración: $F^{\mu \mu }={\partial }^{\mu }{A}^{\mu }-{\partial }^{\mu }{A}^{\mu }=0$
3. Dado que F proviene de un potencial $F=dA$, se dice que es una 2-forma exacta. Según en Lema de Poincaré toda forma exacta tiene derivada exterior nula: $dF=0$
   • Esto implica que en los sistemas coordenados Lorentz se cumple: ${\partial }_{\gamma }{F}_{\alpha \beta }+{\partial }_{\beta }{F}_{\gamma \alpha }+{\partial }_{\alpha }{F}_{\beta \gamma }=0$
4. El tensor es invariante bajo transformaciones gauge del cuadripotencial.
   • En coordenadas Lorentz, si escogemos un cuadripotencial distinto a $A_{\mu }$, de la forma $A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi$, donde $\chi$ es una función arbitraria, es inmediato comprobar que: $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }+{\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }\chi -{\partial }^{\nu }{\partial }^{\mu }\chi ={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$.
   • De forma más geométrica, puesto que $F=dA$, tomando un cuadripotencial $A+d\chi$, se obtiene $F=d(A+d\chi )=dA$, puesto que la derivada exterior cumple $d^2=0$.

Otras expresiones del tensor

Mediante el tensor métrico $g_{\mu \nu }$ podemos subir o bajar índices. Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes):

$F_{\alpha \beta }=g_{\alpha \mu }{F}^{\mu \nu }{g}_{\nu \beta }$

Por tanto

$F_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{E_x}{c}& \frac{E_y}{c}& \frac{E_z}{c}\\ -\frac{E_x}{c}& 0& -B_z& B_y\\ -\frac{E_y}{c}& B_z& 0& -B_x\\ -\frac{E_z}{c}& -B_y& B_x& 0\end{array}\right)$

Tensor dual

Existe otra forma de agrupar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E/c → B y B → −E/c, se obtiene el tensor dual $G^{\mu \nu }$:

$G^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -B_x& -B_y& -B_z\\ B_x& 0& \frac{E_z}{c}& -\frac{E_y}{c}\\ B_y& -\frac{E_z}{c}& 0& \frac{E_x}{c}\\ B_z& \frac{E_y}{c}& -\frac{E_x}{c}& 0\end{array}\right)$

O, bajando índices:

$G_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& B_x& B_y& B_z\\ -B_x& 0& \frac{E_z}{c}& -\frac{E_y}{c}\\ -B_y& -\frac{E_z}{c}& 0& \frac{E_x}{c}\\ -B_z& \frac{E_y}{c}& -\frac{E_x}{c}& 0\end{array}\right)$

Véase también

• Campo electromagnético
• Ecuaciones de Maxwell
• Dual de Hodge (tensores duales)
• Relación antisimétrica en inglés
• Cálculo de Ricci en inglés
• Electrodinámica
• Cálculo tensorial