Derivada exterior

En matemáticas, el operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Élie Cartan.

Definición

La derivada exterior de una forma diferencial de grado $k$ es una forma diferencial de grado $k+1$. La diferenciación exterior satisface tres propiedades importantes:

• $\text{d}f$ es el diferencial de $f$ para cualquier 0-forma $f$ (funciones de la clase C^∞).

• ${\text{d}}^2=0$, dicho de otro modo, que siempre: $\text{d}(\text{d}\omega )=0$, para cualquier forma $\omega$.

• La regla del producto cuña:

$d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1{)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\omega }(\omega \wedge d\eta )$.

Puede ser demostrado que la derivada exterior está determinada unívocamente por estas propiedades y su coincidencia con el diferencial en 0-formas (funciones).

Los casos especiales de la diferenciación exterior corresponden a los operadores diferenciales familiares del cálculo vectorial a lo largo de las mismas líneas que el diferencial corresponde a gradiente. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, la derivada exterior de una 1-forma corresponde al rotacional y la derivada exterior de 2-formas corresponde a la divergencia. Esta correspondencia muestra más de una docena de fórmulas del cálculo vectorial como casos especiales de las tres reglas antedichas de la diferenciación exterior. El núcleo del operador $d$ consiste en las formas cerradas, y la imagen en las formas exactas (cf. diferenciales exactos).

Véase también

• Derivada de Lie
• Formas diferenciales cerradas y exactas

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:PlanetMath