Anillo de fracciones

En álgebra conmutativa se denominan anillos de fracciones a unos objetos matemáticos que generalizan el concepto de cuerpo de fracciones. Dados un anillo conmutativo $A$ y un subconjunto suyo no vacío que satisface ciertas condiciones -cuyos elementos llamaremos denominadores- se puede formar un anillo en el cual todos los denominadores tengan inverso multiplicativo. Este anillo, llamado anillo de fracciones de $A$ es también conmutativo y además es unitario, aunque el propio $A$ no lo sea.

Construcción del anillo de fracciones de un anillo

Sea $A$ un anillo conmutativo. Sea $𝒟\subset A$ un subconjunto cualquiera que satisface las dos condiciones siguientes:

• no contiene al cero del anillo: $0\notin 𝒟$.
• es multiplicativamente cerrado: $a,b\in 𝒟⟹ab\in 𝒟$.

Consideremos en $A\times 𝒟$ la relación binaria

$(a,s)\sim (b,t)\iff \mathrm{\exists }u\in 𝒟:u(at-sb)=0$.

Es fácil comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente $(A\times 𝒟)/\sim$ que denotaremos por ${𝒟}^{-1}A$. Indicaremos por $a/s$ o $\frac{a}{s}$ a la clase del elemento $(a,s)$.

Las operaciones adición y producto dadas por

$\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st}$

$\frac{a}{s}\cdot \frac{b}{t}=\frac{ab}{st}$

están bien definidas y dotan a ${𝒟}^{-1}A$ de una estructura de anillo conmutativo y unitario, que se denomina anillo de fracciones del anillo $A$ respecto de $𝒟$: $({𝒟}^{-1}A,+,\cdot )$.

La inclusión natural $A\to {𝒟}^{-1}A$

Dado un elemento fijo $d\in 𝒟$ cualquiera, podemos definir un homomorfismo de anillos dado por

$A\to {𝒟}^{-1}A:a\mapsto \frac{ad}{d}$.

La imagen $\frac{d^{\prime }d}{d}$ de cada denominador $d^{\prime }\in 𝒟$ tiene un inverso multiplicativo $\frac{d}{d^{\prime }d}$ en ${𝒟}^{-1}A$.

No obstante, si el conjunto $𝒟$ contiene divisores de cero, p.e. el elemento $d\in 𝒟$ siendo $bd=0$, tendríamos

$b\mapsto \frac{bd}{d}=\frac{0}{d}=0$,

con lo que el homomorfismo anterior no sería inyectivo.

En caso contrario, si el conjunto $𝒟$ no contiene divisores de cero, podemos embeber el anillo $A$ de manera natural en el anillo de fracciones ${𝒟}^{-1}A$, que es de hecho el menor anillo que contiene a $A$, salvo isomorfismo, en el que cada denominador $d\in 𝒟$ tiene inverso.

Cuando el conjunto $𝒟$ contiene a todos los elementos que no son divisores de cero (y nada más) el anillo resultante se denomina anillo total de fracciones de $A$. Si $A$ es un dominio de integridad, el anillo total de fracciones es el cuerpo de fracciones de $A$.

Véase también

• Fracción.
• Cuerpo de fracciones.
• Inverso multiplicativo.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
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