Presentación de grupo

En álgebra abstracta, una presentación es una forma de definir un grupo mediante la especificación de dos conjuntos:

• S, conjunto de los generadores, de modo que todo elemento del grupo pueda expresarse como producto de elementos de S.
• R, conjunto de las relaciones, igualdades entre elementos del grupo.

La presentación de un grupo G suele escribirse en la forma $⟨S\mid R⟩$. En las relaciones en que el segundo miembro de la igualdad sea el elemento neutro del grupo, suele omitirse la igualdad y el elemento neutro. Por ejemplo:

$G=<a,b,c,d\mid b^9,cbcbcb,cb{c}^{-1}{b}^{-1}>$

indica que el grupo G está generado por a, b, c, d ; y el conjunto de relaciones nos indica que b⁹= e, es decir, b es de orden 9, cb es de orden 3, y que c y b conmutan.

Introducción informal

Llamamos palabra a cualquier producto de elementos del grupo o de sus inversos. Por ejemplo, si x, y, z son elementos de un grupo G, entonces xy, z^-1xzz son palabras en el conjunto {x, y, z}.

Diremos que un grupo G está generado por un conjunto S, si es posible describir todo elemento de G como producto de la forma

x₁^a₁ x₂^a₂ ... x_n^a_n

donde todos los x_i son elementos de S, y cada a_i es un número entero. Es decir, si todo elemento de G puede expresarse como una palabra en S.

Si G no es un grupo libre, muchos de estos productos serán iguales. Será necesario precisar todas estas relaciones a partir de un conjunto R de relaciones básicas de las que se deduzcan las demás,

Definición

Para definir el concepto de presentación de un grupo, es necesario precisar que significa que una relación se satisface en un grupo dado. Para esto, se recurre a los grupos libres, a través de los cuales se puede representar una relación entre productos de generadores de un grupo como una palabra en el grupo libre. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de símbolos $X$ y el grupo libre sobre $X$, representado por $F_X$. Si $p$ y $q$ son palabras del grupo libre $F_X$, entonces la relación $p=q$ puede representarse por $p{q}^{-1}=1$, y convenir en que el lado derecho siempre es $1$ nos permite fijarnos sólo en la palabra $p{q}^{-1}$. Así, tenemos que toda relación entre los elementos de un grupo pueden expresarse como una palabra de $F_X$ para cierto conjunto $X$. Puesto que los símbolos de $X$ no son los símbolos de un grupo $G$, es necesario "traducirlos" a elementos de $G$ mediante una función $f:X⟶G$, y así podemos decir que una relación de grupo con elementos en un conjunto $X$ se satisface en un grupo $G$ mediante una función $f$ si al interpretar la relación como un producto en $G$ (cambiando letras por su imagen por $f$) el resultado es $1_G$, el elemento neutro de $G$.

Dado un conjunto de relaciones $R\subset F_X$, siempre es posible definir un conjunto que satisface estas relaciones. Se trata del grupo cociente $F_X/N$, donde $N$ es el menor subgrupo normal de $F_X$ que contiene a $R$, llamado clausura normal de $R$ (la clausura normal existe, y no es más que el conjunto generado por la clase de conjugación $R^G=\{gr{g}^{-1}\mid g\in G\text{ y }r\in R\}$). En efecto, pues $f$ se toma como la proyección canónica $F_X⟶F_X/N$, vemos que si $p\in R$ entonces $p\in N=\ker f$, y así la palabra $p$, al ser interpretada como producto en $F_X/N$, es igual al elemento neutro de $F_X/N$ y $p$ se satisface en $F_X/N$ para toda $p\in R$. Estas ideas son suficientes para dar la definición de una presentación de grupo:

Se dice que un grupo $G$ tiene una presentación $⟨X\mid R⟩$, donde $X$ es un conjunto y $R$ es un conjunto de palabras del grupo libre $F_X$ de base $X$, si existe un isomorfismo $G\simeq F_X/N$, donde $N$ es la clausura normal de $R$.

Si $G$ tiene una presentación $⟨X\mid R⟩$, se puede considerar al conjunto $X$ como el generador de $G$, y entonces $G$ es el mayor grupo libre en $X$ en el que las relaciones $R$ se satisfacen. La formulación precisa de esta última afirmación es el teorema de von Dyck siguiente:

Teorema (von Dyck): Sea $R$ un conjunto de palabras del grupo libre $F_X$ de base $X$, y $G$ un grupo donde se satisfacen todas las relaciones de $R$ a través de una aplicación $f:X\to G$. Si $G$ es generado por $f(X)$, entonces existe un único epimorfismo $\psi :F_X⟶G$ tal que $f=\psi \circ \eta$, donde $N$ es la clausura normal de $R$ en $F_X$ y $\eta :X⟶F_X/N$ es la restricción de la proyección canónica $\pi :F_X⟶F_X/N$ a $X$:

El teorema de von Dyck nos dice que, en efecto, un grupo $G$ que tiene una presentación $⟨X\mid R⟩$ cumple con la propiedad universal que caracteriza a los grupos libres, y así es libre con base $X$. Cuando $H$ es un grupo que también satisface las relaciones en $R$ y $H=⟨f(X)⟩$ como en el teorema anterior, entonces hay un epimorfismo $\psi :G⟶H$ y así $H$ es isomorfo (por el primer teorema de isomorfía) a un grupo cociente de $G$ (a saber $G/\ker \psi$), y es en este sentido que el grupo $G$ es el mayor grupo libre en $X$ que satisface las relaciones en $R$.

Ejemplos

• Un grupo cíclico de orden n que tiene un único generador (y es isomorfo a ${\mathbb{Z}}_n$), y una presentación

$⟨a\mid a^n⟩$.

• Los números enteros $\mathbb{Z}$ tienen una presentación

$⟨a\mid \varnothing ⟩$,

donde el conjunto de relaciones es vacío, de hecho este grupo coincide con un grupo libre de un solo generador. En general,

$⟨X\mid \varnothing ⟩$

es la presentación del grupo libre $F_X$.

• El grupo de quaterniones generalizados $Q_n$ tiene la presentación

$⟨g,h\mid g^{2^{n-1}}=1,hg{h}^{-1}=g^{-1},h^2=h^{2^{n-2}}⟩$.

Se trata de un grupo de orden $2^n$. Para $n=3$, esta presentación nos da el grupo conocido de quaterniones de orden 8.

• Otro ejemplo más complejo es la presentación

$⟨A,B\mid (ABA{)}^4=E,ABA=BAB⟩$,

que determina un grupo que es isomorfo a $SL(2,\mathbb{Z})$ un ejemplo de grupo lineal especial.

Producto libre y producto directo

Si $G$ tiene una presentación $⟨S\mid R⟩$ y $H$ una presentación $⟨T\mid Q⟩$ con $S$ y $T$ disjuntos, entonces el producto libre $G\ast H$ tiene una presentación $⟨S,T\mid R,Q⟩$.

Si $G$ tiene una presentación $⟨S\mid R⟩$ y $H$ una presentación $⟨T\mid Q⟩$ con $S$ y $T$ disjuntos, entonces el producto directo de $G$ y $H$ tiene una presentación $⟨S,T\mid R,Q,[S,T]⟩$, donde $[S,T]$ representa las relaciones necesarias para que todo elemento de $S$ conmute con todo elemento de $T$.

Bibliografía

1. Lang, S. Algebra. (2002) Springer-Verlag, New York.
2. Rotman, J. Advanced Modern Algebra. (2003) Prentice Hall.
3. Grillet, P. Abstract Algebra. 2007 Springer Science, New York.