Subgrupo normal

En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido $N$ de un grupo $G$ es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento $n\in N$ y cada $g\in G$, el elemento $gn{g}^{-1}$ está en $N$. Se denota $N◃G$.

Propiedades

• $\{e\}$ y $G$ son siempre subgrupos normales de $G$. Si éstos son los únicos subgrupos normales de $G$, se dice que $G$ es simple.
• Los subgrupos normales de cualquier grupo $G$ forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son $\{e\}$ y $G$, el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
• Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
• Si $N<G$ es de índice 2 ($[G:N]=2$) entonces $N$ es normal en $G$.
• El centro de un grupo es normal en el grupo.

Grupo cociente

Sea $G$ un grupo y $N◃G$. Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de $N$ en $G$, y lo denotaremos $G/N$.

Podemos definir en $G/N$ la operación $gN*hN=(gh)N\mathrm{\forall }g,h\in G$ (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar). Plantilla:Definición

• La proyección canónica $p:G⟶G/N,p(g)=gN$ es un homomorfismo de grupos.

Grupos normales y homomorfismos

• Sean $G$ y $H$ grupos y sea $f:G⟶H$ un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de $f$ es normal en $G$: $\ker (f)◃G$. De hecho, un subgrupo $N<G$ es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos $f:G⟶H$ tal que $\ker (f)=N$.

Véase también

• Normalizador
• Ideal de un anillo