Subgrupo conmutador

En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma Plantilla:Ecuación denominado conmutador de a con b.

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por $G^{\prime }$ o $[G,G]$. Esto significa que si $x\in [G,G]$ entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

$x=a_1{b}_1{a_1}^{-1}{b_1}^{-1}{a}_2{b}_2{a_2}^{-1}{b_2}^{-1}\cdots a_r{b}_r{a_r}^{-1}{b_r}^{-1}$.

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente $G/[G,G]$ es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si $H⊲G$ verifica que $G/H$ es abeliano entonces $[G,G]\subseteq H$.

La construcción $G/[G,G]$ recibe el nombre de abelianización de G.

Proposiciones

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

• El inverso de un conmutador es un conmutador.
• G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
• G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.

Serie normal y serie derivada

Dado un grupo $G$, La serie derivada es una construcción iterada, definida de la siguiente manera:

$G^{(0)}:=G$

$G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]n\in 𝐍$

Los grupos $G^{(2)},G^{(3)},\dots$ se denominan segundo grupo derivado, tercer grupo derivado, y así en adelante y forman la serie normal descedente.

$\cdots ◃G^{(2)}◃G^{(1)}◃G^{(0)}=G$

se denomina la serie derivada. Esta no debe confundirse con la serie central inferior, cuyos términos son $G_n:=[G_{n-1},G]$.

Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto, que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y puede continuar hasta infinitos números ordinales mediante recursión transfinita, obteniendo así la serie derivada transfinita, que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.

Véase también

• Conmutador (matemática)

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro