Teorema del valor medio de Cauchy

Interpretación geométrica: para cualquier función continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, entonces existe algún $c$ en el intervalo $(a,b)$ de tal manera que la secante que une los extremos del intervalo $[a,b]$ es paralela a la tangente en $c$.

Existe un punto del arco fijado donde la tangente es paralela a la cuerda.

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones $\frac{0}{0}$ o $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

Enunciado

El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821), se enuncia de la siguiente manera: Plantilla:Teorema

Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

Demostración

• Sea G(x) una función definida como:

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.

• Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) se obtiene:

y sabiendo que G'(c) es 0

de donde se deduce que

• Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:

Q.E.D.

Consecuencias

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:

muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de $\frac{0}{0}$ o $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

Referencias

• Plantilla:WolframDemonstrations
• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:MathWorld