Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

Definición de subespacio vectorial

Sea $V_{}^{}$ un espacio vectorial sobre $K_{}^{}$ y $U\subset V$ no vacío, $U_{}^{}$ es un subespacio vectorial de $V_{}^{}$ si:

$i)\mathrm{\forall }u,v\in U,u+v\in U$

$ii)\mathrm{\forall }u\in U,\mathrm{\forall }k\in K,ku\in U$

Consecuencias

• Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.

Notaciones

Dado $F$ un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje $F+F\subset F$, e incluso $F+F=F$ es correcto. Plantilla:Demostración

Para ii) el abuso de lenguaje $\lambda F\subset F$, e incluso $\lambda F=F,\mathrm{\forall }\lambda \in K-\{0\}$ es correcto. Plantilla:Demostración

Criterio de verificación

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Ejemplos

Dado el espacio vectorial ${ℝ}^2$, sus elementos son del tipo $(a,b)\in {ℝ}^2$.

• 
  $\overrightarrow{0},u$ y $\lambda u$ están alineados, $\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^2$, $\mathrm{\forall }\lambda \in K.$
• 
  $\overrightarrow{0},u,v$ y $u+v$ forman un paralelogramo si no están alineados, $\mathrm{\forall }u,v\in {ℝ}^2.$
• 
  Suma de 3 elementos.

El subconjunto Plantilla:Ecuación es un subespacio vectorial.

El subconjunto Plantilla:Ecuación no es un subespacio vectorial.

Otros ejemplos

Sea $V_{}^{}$ un espacio vectorial. Asumimos que $V_{}^{}$ es un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.

1) {0} es un subespacio vectorial de $V_{}^{}$. Es llamado el subespacio trivial de $V_{}^{}$.

2) $V_{}^{}$ en sí es un subespacio vectorial de $V_{}^{}$.

3) Si fijamos $v$ $\in V$. Entonces el conjunto $W:=\{\mathit{\mu }𝐯\in V:\mu \in ℝ\}$ es un subespacio de $V_{}^{}$.

4) Más generalmente, si fijamos $v_1$, ..., $v_k$ $\in V$, entonces el conjunto $W:=\{{\mathit{\mu }}_{\mathrm{𝟏}}{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+...+{\mathit{\mu }}_{𝐤}{𝐯}_{𝐤}:{\mu }_1,...,{\mu }_k\in ℝ\}$ es un subespacio de $V_{}^{}$. Este conjunto es llamado el generador lineal de $v_1$, ..., $v_k$.

5) Si fijamos $z_0$ y $v_1$, ..., $v_k$ $\in V$, entonces el conjunto $W:=\{z_0+{\mathit{\mu }}_{\mathrm{𝟏}}{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+...+{\mathit{\mu }}_{𝐤}{𝐯}_{𝐤}:{\mu }_1,...,{\mu }_k\in ℝ\}$ $=$ $z_0$ $+$$\{{\mathit{\mu }}_{\mathrm{𝟏}}{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+...+{\mathit{\mu }}_{𝐤}{𝐯}_{𝐤}:{\mu }_1,...,{\mu }_k\in ℝ\}$ es un subespacio afín de $V_{}^{}$. En general, no será un subespacio.

6) Si $W_{}^{}$ es un subespacio de $V_{}^{}$, entonces $V_{}^{}\setminus W_{}^{}$ no es un subespacio. Esto es fácil de ver, considerando que $W_{}^{}$ debe que contener el 0, pero $V_{}^{}\setminus W_{}^{}$ no contiene el 0. Por lo tanto, no puede ser un espacio vectorial.

Operaciones con subespacios

Sea $(V,+,K,*)$ un espacio vectorial; $(S,+,K,*)$ y $(W,+,K,*)$ subespacios vectoriales de $V$, se definen las siguientes operaciones:

Unión

$S\cup W=\{𝐯\in V:𝐯\in S\text{o}𝐯\in W\}$
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

Intersección

$S\cap W=\{𝐯\in V:𝐯\in S\text{y}𝐯\in W\}$
La intersección de dos subespacios es un subespacio.

Suma

$S+W=\{𝐯\in V:𝐯=({𝐮}_{\mathrm{𝟏}}+{𝐮}_{\mathrm{𝟐}})\wedge {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}\in S\wedge {𝐮}_{\mathrm{𝟐}}\in W\}$
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si $S\cap W=\left\{\overrightarrow{0}\right\}\Rightarrow S\oplus W$
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios

Se dice que los subespacios $S$ y $W$son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial $V$:

$S\oplus W=V\leftrightarrow \{\begin{array}{c}S+W=V\\ S\cap W=\left\{\overrightarrow{0}\right\}\end{array}$

Dimensiones de subespacios

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios $S$ y $W$ será igual a la dimensión del subespacio $S$ más la dimensión del subespacio $W$ menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

$\dim (S+W)=\dim (S)+\dim (W)-\dim (S\cap W)$

Por ejemplo, siendo $\dim (S)=3$ y $\dim (W)=2$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, $\dim (S+W)=4$.

En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como $S\cap W=\left\{\overrightarrow{0}\right\}\Rightarrow \dim (S\cap W)=0$.
La fórmula de Grassmann resulta:

$\dim (S\oplus W)=\dim (S)+\dim (W)$

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría $\dim (S\oplus W)=5$.

Véase también

• Base (álgebra)
• Combinación lineal
• Dependencia e independencia lineal
• Espacio vectorial
• Producto escalar
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Sistema generador