Fórmula de Grassmann

En álgebra lineal y en geometría afín, la fórmula de Grassmann es una expresión que relaciona la dimensión de dos subespacios con las dimensiones de la intersección y de la suma de dichos subespacios.

Como ejemplo, considérense dos planos en el espacio de tres dimensiones, de modo que compartan un origen común. Cada uno de estos planos, por separado, tiene dos dimensiones. Si los planos son distintos, sus puntos son coincidentes sobre una misma recta que determina su intersección.

Cada plano puede considerarse como un subespacio de dos dimensiones, y la recta como el subespacio intersección. La suma de ambos planos constituye todo el espacio, por ser este último el de máxima dimensión posible. La dimensión de este espacio suma es tres.

Si se suman las dimensiones de los planos individuales y se resta la dimensión de la recta, se obtiene la dimensión del espacio tridimensional. Por lo tanto, bajo estas condiciones, es posible afirmar que la dimensión del espacio suma es igual a la suma de las dimensiones de los subespacios individuales, menos su intersección. Este último es, precisamente, el enunciado de Grassmann.

Enunciado

Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera, sean U y V dos conjuntos que determinan subespacios. La fórmula de Grassmann relaciona las dimensiones de U y V de la siguiente manera. Plantilla:Definición

Demostración

Sean dos subespacios vectoriales U y V, en un espacio vectorial definido sobre un cuerpo $𝕂$ . Considérense las bases

$B_{1} = {a_{1}, \dots, a_{r}, u_{1}, \dots, u_{p}}$
$B_{2} = {a_{1}, \dots, a_{r}, v_{1}, \dots, v_{q}}$
$B_{3} = {a_{1}, \dots, a_{r}}$

y el sistema $B_{4} = {a_{1}, \dots, a_{r}, u_{1}, \dots, u_{p}, v_{1}, \dots, v_{q}}$ de modo que se cumpla $U \cap V = g e n (B_{3})$ , entonces $U = g e n (B_{1})$ y $V = g e n (B_{2})$ , basta completar $B_{3}$ con los vectores correspondientes.Plantilla:Refn Además, como $B_{4} = B_{1} \cup B_{2}$ , se tiene $U + V = g e n (B_{4})$ .Plantilla:Refn

Es necesario demostrar primero que el sistema $B_{4}$ es efectivamente una base, para esto basta con que sus vectores sean linealmente independientes, ya que generan al subespacio suma $U + V$ .

Plantilla:Demostración

Según las propiedades de la suma,

Plantilla:Ecuación

pero esto equivale a

Plantilla:Ecuación

QED.