Función de Euler

Módulo de phi en el plano complejo, coloreado de tal manera que negro=0, rojo=4.

En matemática, particularmente en teoría de números, la función de Euler está definida por Plantilla:Ecuación Llamada así en honor a Leonhard Euler, es el ejemplo prototipo de q-series, una forma modular, y es uno de los primeros ejemplos de relación entre combinatoria y análisis complejo.

Propiedades

Los coeficientes p(k) en la serie de Maclaurin para 1/Φ(q) da el número de todas las particiones de k. Esto es,

donde p(k) es la función de partición de k.

El teorema del número pentagonal, descubierto también por Leonhard Euler, está relacionado con la función de Euler de la siguiente manera:

Nótese que (3n²-n)/2 es un número pentagonal.

La función de Euler está relacionada con la función eta de Dedekind, mediante la identidad descubierta por Ramanujan:

donde $q=e^{2\pi i\tau }$.

Nótese que ambas funciones tienen la simetría del grupo modular.

Referencias

• Plantilla:Cita libro