Función eta de Dedekind

Función eta de Dedekind representada en el plano complejo.

La función eta de Dedekind o simplemente función η de Dedekind, nombrada así en honor al matemático alemán Richard Dedekind es una función holomorfa definida en el semiplano superior complejo $ℍ=\{\tau \in ℂ\mid \mathrm{I}\mathrm{m}\tau >0\}$ Esta función juega un papel fundamental en la teoría de funciones elípticas y funciones theta.

Definición

La función η suele definirse mediante el siguiente producto:

$\eta (\tau ):=e^{2\pi i\tau /24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi in\tau }):=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)$.

donde $q=e^{2\pi i\tau }$. De la definición se deduce inmediatamente que $\eta$ sobre $ℍ$ no tiene ceros.

La función η está estrechamente relacionada con su discriminante $\mathrm{\Delta }$, de la siguiente manera

$\mathrm{\Delta }(\tau )=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}(\tau )$.

Para el cálculo de la función, se suele emplear el teorema del número pentagonal de Euler.

Transformación y comportamiento

Las propiedades que se atribuyen a la función η se originan de su comportamiento de transformación en las sustituciones de los generadores del grupo modular

$\mathrm{\Gamma }:={\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})=\{(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array})\mid a,b,c,d\in \mathbb{Z},ad-bc=1\}$,

es decir:

$\eta (\tau +1)=e^{\pi i/12}\eta (\tau )$

y

$\eta \left(\frac{-1}{\tau }\right)=\sqrt{\frac{\tau }{i}}\eta (\tau )$.

Referencias

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 See chapter 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld