Segmento circular

En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Un segmento circular (en verde) está delimitado por una cuerda (línea discontinua) y el arco que toca los extremos de la cuerda (el arco mostrado sobre el área verde).

Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular (sagita) , y d la altura de la porción triangular (apotema).

• El radio del círculo

es $R=h+d\frac{}{}$

• La longitud del arco es $s=R\cdot \theta$, donde $\theta$ está en radianes.

• La longitud de la cuerda es $c=2R\mathrm{sen}\left(\frac{\theta }{2}\right)=R\sqrt{2-2\cos \theta }=R\sqrt{2(1-\cos \theta )}$

• La altura es $h=R(1-\cos \frac{\theta }{2})$

• El ángulo es $\theta =2\arccos \left(\frac{d}{R}\right)$

Área

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.

$A=R^2\cdot \frac{\theta }{2}-\frac{R^2\mathrm{sen}\theta }{2}=\frac{R^2}{2}(\theta -\mathrm{sen}\theta )$

Si el ángulo está en radianes.

Área en función de una altura $h_L$ en caso de un cilindro horizontal con un nivel de agua $h_L$:

$d=-h_L+R$

$\theta =2\arccos \left(\frac{-h_L+R}{R}\right)=2\arccos (1-\frac{h_L}{R})$

Demostración alternativa

El área del sector circular es: $A=\pi R^2\cdot \frac{\theta }{2\pi }=\frac{R^2\cdot \theta }{2}$

Si se bisecciona el ángulo $\theta$, y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:

$R\mathrm{sen}\frac{\theta }{2}\cdot R\cos \frac{\theta }{2}=R^2\mathrm{sen}\frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen

$A=R^2(\frac{\theta }{2}-\mathrm{sen}\frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2})$

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble $\mathrm{sen}2\theta =2\mathrm{sen}\theta \cos \theta$, por lo tanto:

$\mathrm{sen}\frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}\mathrm{sen}\theta$

con lo que resulta que el área es:

$A=R^2(\frac{\theta }{2}-\frac{1}{2}\mathrm{sen}\theta )=\frac{R^2}{2}(\theta -\mathrm{sen}\theta )$

Véase también

• Sector circular
• Casquete esférico – análogo tridimensional
• Arco
• Sección cónica
• Sección (matemática)

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Definición de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)
• Fórmula para el área de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)