Matriz diagonal

Plantilla:Referencias En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño $2\times 2$ es

$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño $3\times 3$ es

$\left[\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.

Definición

La matriz $D=(d_{i,j})$ con $n$ columnas y $n$ renglones es diagonal si

$d_{i,j}=0\text{si}i\ne j\mathrm{\forall }i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$

Los elementos de la diagonal principal de la matriz $D$ pueden tomar cualquier valor.

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Operaciones vectoriales

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal $D=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$ y un vector $𝐯={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& \cdots & x_n\end{array}\right]}^T$ el producto es:

$D𝐯=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ & \ddots \\ & & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1{x}_1\\ ⋮\\ a_n{x}_n\end{array}\right]$

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño $D=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$ y $B=\mathrm{diag}(b_1,\dots ,b_n)$.

Para la suma de matrices diagonales se tiene

$\begin{array}{cc}D+B& =\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)+\mathrm{diag}(b_1,\dots ,b_n)\\ & =\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ & \ddots \\ & & a_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ & \ddots \\ & & b_n\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ & \ddots \\ & & b_n+b_n\end{array}\right]\\ & =\mathrm{diag}(a_1+b_1,\dots ,a_n+b_n)\end{array}$

y para el producto de matrices,

$\begin{array}{cc}DB& =\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)\cdot \mathrm{diag}(b_1,\dots ,b_n)\\ & =\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ & \ddots \\ & & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ & \ddots \\ & & b_n\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ & \ddots \\ & & a_n{b}_n\end{array}\right]\\ & =\mathrm{diag}(a_1{b}_1,\dots ,a_n{b}_n)\end{array}$

La matriz diagonal $D=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$ es invertible si y sólo si las entradas $a_1,\dots ,a_n$ son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

$D^{-1}=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n{)}^{-1}=\mathrm{diag}(a_1^{-1},\dots ,a_n^{-1})$

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de $n\times n$.

Multiplicar la matriz $A$ por la izquierda con $\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$ equivale a multiplicar la $i$-ésima fila de $A$ por $a_i$ para todo $i$. Multiplicar la matriz $A$ por la derecha con $\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$ equivale a multiplicar la $i$-ésima columna de $A$ por $a_i$ para todo $i$.

Propiedades

• El determinante de $\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$ es igual al producto $a_1\cdots a_n$.
• La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
• La matriz identidad $I_n$ y la matriz cero son matrices diagonales.
• Los autovalores de $\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$ son $a_1,\dots ,a_n$.
• Los vectores ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n$ forman una base de autovectores.

Usos

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.