Grupo alternante

Grupo alternate

En teoría de grupos, el grupo alternante, también conocido como grupo alternado o subgrupo alternado, denotado usualmente $A_n$, es el subgrupo del grupo simétrico $S_n$ del conjunto $\{1,2,\dots ,n\}$ formado por las permutaciones pares. Simbólicamente:

$A_n=\{\sigma \in S_n:\sigma \text{ es par}\}=\ker (\epsilon ),$

siendo

$\epsilon :S_n\to \{-1,1\}$

la aplicación signo de una permutación.

Propiedades

$A_n$ es un subgrupo normal de $S_n$. De hecho, es su subgrupo conmutador, de índice 2, y por ello tiene $n!/2$ elementos.

$A_n$ es no abeliano para $n\ge 4$.

El grupo $A_4$ tiene a $V$ (el grupo de Klein) como subgrupo propio normal. Para $n\ge 5$, $A_n$ es un grupo simple.

Véase también

• Subgrupo.
• Grupo cociente.
• Combinatoria.