Teorema de Knaster-Tarski

El teorema de Knaster-Tarski, que lleva los nombres de Bronisław Knaster y Alfred Tarski, es un teorema matemático del área de la teoría de retículos.

Enunciado

Sean $𝒜:=⟨A,\le ⟩$ un retículo completo, $f:A\to A$ una función monótona y $P:=\{x\in A\mid f(x)=x\}$ el conjunto de los puntos fijos de $f$ en $A$. Entonces $P\ne \mathrm{\varnothing }$ y $𝒫:=⟨P,\le ⟩$ es también un retículo completo.

Esbozo de demostración

Sean $\bigcup _{𝒜}$ y $\bigcap _{𝒜}$ las operaciones de supremo e ínfimo de $𝒜$, respectivamente.

Los siguientes pasos muestran que para subconjuntos arbitrarios de $P$, $𝒫$ arroja un ínfimo y un supremo en $P$.

1. $\bigcup _{𝒜}\{x\in A\mid x\le f(x)\}$ es punto fijo de $f$, siendo además mayor que cualquier otro en $A$. Por tanto se trata del supremo $𝒫$ de $P$.
2. Dualmente al paso 1: $\bigcap _{𝒜}\{x\in A\mid f(x)\le x\}$ es punto fijo de $f$, siendo además menor que cualquier otro en $A$.
3. Para subconjuntos arbitrarios $Y\subseteq P$, se requiere que exista un supremo $𝒫$. Los casos $Y=P$ y $Y=\mathrm{\varnothing }$ ya se consideraron en los pasos 1 y 2. Ahora se consideran los demás casos. Para ello se aprovecha el que $⟨U,\le ⟩$ con $U:=\{x\in A\mid \bigcup _{𝒜}Y\le x\}$ es a su vez un retículo completo y que $f{|}_U$ es una función monótona $U\to U$, que de acuerdo al paso 2 tiene en $U$ al menor de sus puntos fijos. Este es el supremo $𝒫$ de $Y$. En símbolos: $\bigcup _{𝒫}Y:=\bigcap _{𝒜}\{x\in A\mid \bigcup _{𝒜}Y\cup f(x)\le x\}$.
4. Dualmente al paso 3 se muestra que para subconjuntos arbitrarios de $P$ existe un ínfimo $𝒫$.

Corolarios

Un corolario frecuentemente utilizado es el de la existencia de los puntos fijos ínfimo y supremo para funciones monótonas con respecto a $\subseteq$.

Referencias

• Plantilla:Cita publicación
• Garrett Birkhoff, 1967. Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5