Elemento supremo e ínfimo

Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto $S$ de un conjunto parcialmente ordenado $(P,<)$, el supremo de $S$, si existe, es el mínimo elemento de $P$ que es mayor o igual a cada elemento de $S$. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de $S$. El supremo de un conjunto $S$ comúnmente se denota como $\sup S$.

De forma análoga, se define el ínfimo $S$, si existe, como la mayor de las cotas inferiores de $S$, y se suele denotar por $\inf S$.

Definiciones

Sea $T$ un subconjunto no vacío de $ℝ$.

1. Si $T$ está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de $T$ si es menor que cualquier cota superior de $T$. En tal caso, a esa cota superior se le denota $\sup T$.
2. Si $T$ está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de $T$ si es mayor que cualquier cota inferior de $T$. En tal caso, a esa cota inferior se le denota $\inf T.$

Propiedades

• En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.

• $s$ es supremo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $ℝ$ de números reales si es cota superior de $T$ y si, y solo si para toda $\epsilon >0$ existe $s_{\epsilon }$ en $T$ tal que $s-\epsilon <s_{\epsilon }$.

• $r$ es ínfimo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $ℝ$ de números reales si es cota inferior de $T$ y si, y solo si para toda $\epsilon >0$ existe $r_{\epsilon }$ en $T$ tal que $r+\epsilon >r_{\epsilon }$.

• Sean $L$ un subconjunto acotado de números reales y $K$ un subconjunto no vacío de $L$. Se cumple que $\inf L\le \inf K\le \sup K\le \sup L$.

• Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
• $\sup (A\cup B)=\max \{\sup (A),\sup (B)\}$, si es que dichos supremos existen
• $\inf (A\cup B)=\min \{\inf (A),\inf (B)\}$, si es que dichos ínfimos existen
• Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

• $\sup \{1,2,3\}=3$
• $\inf \{1,2,3\}=1$
• $\sup \{x\in ℝ|0<x<1\}=\sup \{x\in ℝ|0\le x\le 1\}=1$
• $\inf \{x\in ℝ|0<x<1\}=\inf \{x\in ℝ|0\le x\le 1\}=0$

• $\sup \{x\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}|x^2\le 2\}=\sqrt{2}$
• $\inf \{x\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}|x^2<2\}=0$
• $\sup \{(-1{)}^n-\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}=1$
• $\inf \{\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}=0$

Véase también

• Acotado

• Elemento maximal y minimal
• Elemento máximo y mínimo

• Elemento mayorante y minorante
• Elemento mayor y menor

• Elemento supremo e ínfimo

Literatura de consulta

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
• Supremum (en PlanetMath.org)
• Plantilla:MathWorld