Prerradical

En matemática, un prerradical es una generalización categórica del submódulo de torsión, el submódulo divisible, el radical de Jacobson de un módulo y el soclo de un módulo.

Definición

Para $R$ un anillo asociativo con $1$ un prerradical $\sigma$ en $R-Mod$ la clase de módulos izquierdos unitarios es un endofuntor en $R-Mod$, $\sigma :R-Mod\to R-Mod$ tal que para todo $R-$módulo $M$, $\sigma (M)\le M$ y para todo homomorfismo $f:M\to N,f(\sigma (M))\le \sigma (N)$.

A la clase de prerradicales sobre $R-Mod$ se le denota por $R-pr$.

Estructura de retícula

$R-pr$ tiene estructura de clase parcialmente ordenada con $\sigma \le \tau$, si $\sigma (M)\le \tau (M)$ para todo $M$ $R-$módulo. De manera natural para una familia de prerradicales $\{{\sigma }_i{\}}_{i\in I}$ que el supremo está dado por $({\vee }_{i\in I}{\sigma }_i)(M)=\sum _{i\in I}{\sigma }_i(M)$ y el ínfimo por $({\wedge }_{i\in I}{\sigma }_i)(M)={\cap }_{i\in I}{\sigma }_i(M)$ para todo $M$ $R-$módulo. Por lo que $R-pr$ forma una gran retícula. Por lo mencionado anteriormente $R-pr$ es una retícula completa, es una retícula modular y también es una retícula continua superiormente.

Operaciones

$R-pr$ tiene dos operaciones: el producto $\sigma \tau$ y el coproducto $\sigma :\tau$, definidas en un $R-$módulo $M$ por

$(\sigma \tau )=\sigma (\tau (M))$

$(\sigma :\tau )(M)/\sigma (M)=\tau (M/\sigma (M))$

Bibliografía

• STENSTROM, B.: Rings of Quotients. An Introduction to Methods of Ring Theory (Anillos de cocientes: introducción a los métodos de la teoría de anillos). Springer Verlag, Berlín, 1975.