Función psi de Dedekind

En teoría de números, la función psi de Dedekind es la función multiplicativa sobre los enteros positivos definida por

$\psi (n)=n\prod _{p|n}(1+\frac{1}{p}),$

donde el producto es tomado sobre todos los números primos p que dividen a n (por convención, ψ(1) es el producto vacío y tiene el valor 1). La función fue introducida por Richard Dedekind en conexión con las funciones modulares.

El valor de ψ(n) para los primeros enteros n es:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... Plantilla:OEIS.

ψ(n) es mayor que n para todo n mayor que 1, y es par para todo n mayor que 2. Si n es un Entero libre de cuadrados entonces ψ(n) = σ(n).

La función ψ puede también ser definida mediante la propiedad ψ(pⁿ) = (p+1)p^n-1 para potencias de cualquier primo p, y luego extender la definición a todos los enteros por multiplicabilidad. Esto también permite una demostración de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann, que es

$\sum \frac{\psi (n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}.$

Esto también es una consecuencia del hecho de que se puede escribir como una convolución de Dirichlet $\psi =n*{ϵ}_2$, donde ${ϵ}_2$ es la función característica de los cuadrados.

Grandes órdenes

La generalización a grandes órdenes usando ratios de indicatrices de Jordan es

${\psi }_k(n)=\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}$

donde la serie de Dirichlet

$\sum _{n\ge 1}\frac{{\psi }_k(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}$.

Es también la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius,

${\psi }_k(n)=n^k*{\mu }^2(n)$.

Si

${ϵ}_2=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\dots$

es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet permite la generalización de la función σ,

${ϵ}_2(n)*{\psi }_k(n)={\sigma }_k(n)$.

Referencias

• Plantilla:Cita libro (page 25, equation (1))

• Plantilla:Cite arXiv
• Plantilla:Cite arXiv Section 3.13.2
• Plantilla:OEIS2C es ψ₂, Plantilla:OEIS2C es ψ₃, y Plantilla:OEIS2C es ψ₄

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld