Función indicatriz de Jordan

En teoría de números, la función indicatriz de Jordan $J_{k} (n)$ de un entero positivo n es el número de k-tuplas de enteros positivos todos menores o iguales a n que forman una (k + 1)-tupla coprima junto con n. Esta es una generalización de la función φ de Euler, que es J₁. La función se llaman en honor de Camille Jordan.

Definición

La función indicatriz de Jordan es una función multiplicativa y puede ser evaluada como

J_{k} (n) = n^{k} \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p^{k}}) .

Propiedades

$\sum_{d | n} J_{k} (d) = n^{k} .$

La cual puede ser escrita en el lenguaje de convoluciones de Dirichlet como

J_{k} (n) ⋆ 1 = n^{k}

y utilizando inversión de Möbius como

J_{k} (n) = μ (n) ⋆ n^{k}

.

Puesto que la función generadora de Dirichlet de μ es 1/ζ(s) y la función generadora de n^k es ζ(s-k), las series para J_k se convierten en

\sum_{n \geq 1} \frac{J_{k} (n)}{n^{s}} = \frac{ζ (s - k)}{ζ (s)}

.

The orden medio de J_k(n) es c n^k para algún c.

La función psi de Dedekind es

ψ (n) = \frac{J_{2} (n)}{J_{1} (n)}

,

y mediante inspección de la definición (reconociendo que cada factor en el producto sobre los números primos es un polinomio ciclotómico de p^-k), las funciones aritméticas definidas mediante $\frac{J_{k} (n)}{J_{1} (n)}$ o $\frac{J_{2 k} (n)}{J_{k} (n)}$ pueden mostrarse que son funciones multiplicativas evaluadas en los números enteros.

$\sum_{δ ∣ n} δ^{s} J_{r} (δ) J_{s} (\frac{n}{δ}) = J_{r + s} (n)$ ^[1]

Orden del grupo de matrices

El grupo general lineal de matrices de orden m sobre Z_n tienen orden^[2]

| GL (m, 𝐙_{n}) | = n^{\frac{m (m - 1)}{2}} \prod_{k = 1}^{m} J_{k} (n) .

El grupo especial lineal de matrices de orden m sobre Z_n tiene orden

| SL (m, 𝐙_{n}) | = n^{\frac{m (m - 1)}{2}} \prod_{k = 2}^{m} J_{k} (n) .

El grupo simpléctico de matrices de orden m sobre Z_n tiene orden

| Sp (2 m, 𝐙_{n}) | = n^{m^{2}} \prod_{k = 1}^{m} J_{2 k} (n) .

Las dos primeras fórmulas fueron descubiertas por Jordan.

Ejemplos

Listas explícitas en OEIS son J₂ en Plantilla:OEIS2C, J₃ en Plantilla:OEIS2C, J₄ en Plantilla:OEIS2C, J₅ en Plantilla:OEIS2C, J₆ hasta J₁₀ en Plantilla:OEIS2C hasta Plantilla:OEIS2C.

Funciones multiplicativas definidas por sus relaciones son J₂(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₃(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₄(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₅(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₆(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₇(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₈(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₉(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₁₀(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C, J₁₁(n)/J₁(n) in Plantilla:OEIS2C.

Ejemplos de relaciones J_2k(n)/J_k(n) son J₄(n)/J₂(n) en Plantilla:OEIS2C, J₆(n)/J₃(n) en Plantilla:OEIS2C, y J₈(n)/J₄(n) en Plantilla:OEIS2C.

Notas

Plantilla:Listaref

Referencias

Enlaces externos

Plantilla:Control de autoridades

↑ Holden et al en enlaces externos. La fórmula es de Gegenbauer.
↑ Todas estas fórmulas provienen de Andrici y Priticari en #Enlaces externos.

[1] Holden et al en enlaces externos. La fórmula es de Gegenbauer.

[2] Todas estas fórmulas provienen de Andrici y Priticari en #Enlaces externos.

[1]

[2]

Función indicatriz de Jordan

Sumario

Definición

Propiedades

Orden del grupo de matrices

Ejemplos

Notas

Referencias

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Función indicatriz de Jordan

Definición

Propiedades

Orden del grupo de matrices

Ejemplos

Notas

Referencias

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