Teorema de Weierstrass

Representación gráfica del teorema

El teorema de Weierstraß es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo.

También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos.

Generalizaciones del teorema de Weierstraß

El teorema de Weierstraß se puede generalizar a aplicaciones continuas entre espacio topológicos.

Gracias al Teorema de Heine-Borel, se puede formular el teorema anterior para funciones continuas entre un espacio topológico y un espacio normado:

Sea $(X,𝒯)$ un espacio topológico, $K\subseteq X$ un conjunto compacto y $(V,||\cdot ||)$ un espacio vectorial normado.

Si $f:K\to V$ es una aplicación continua, entonces existen $x_1,x_2\in K$ tales que $||f(x_1)||\le ||f(x)||\le ||f(x_2)||$ para cualquier $x\in K$.

En concreto, si $V=ℝ$:

Sea $(X,𝒯)$ un espacio topológico y $K\subseteq X$ un conjunto compacto.

Si $f:K\to ℝ$ es una función continua, entonces existen $x_1,x_2\in K$ tales que $f(x_1)\le f(x)\le f(x_2)$ para cualquier $x\in K$.

Véase también

• Teorema de Rolle

Enlaces externos

• Plantilla:Planetmath reference
• Plantilla:MathWorld