Fórmulas de Mollweide

Un triángulo. Los ángulos α, β y γ son los opuestos, respectivamente, a los lados a, b y c.

En trigonometría, las fórmulas de Mollweide, o en algunos textos antiguos ecuaciones de Mollweide, que llevan el nombre de Karl Mollweide, son unas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Se pueden usar para comprobar el resultado de la resolución de triángulos.

Sean a, b y c las longitudes de los tres lados de un triángulo y sean α, β y γ las medidas de los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. Las fórmulas de Mollweide establecen que:

$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}{\mathrm{sen}\left(\frac{\gamma }{2}\right)}$

y que:

$\frac{a-b}{c}=\frac{\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}.$

Cada una de estas identidades utiliza seis medidas de un triángulo: los tres ángulos y la longitud de los tres lados.

Cuadrilátero cíclico

Una generalización de la fórmula de Mollweide se cumple para un cuadrilátero cíclico $◻ABCD.$ Denotando las longitudes de los lados como $|AB|=a,$ $|BC|=b,$ $|CD|=c,$ y $|DA|=d$ y las medidas de los ángulos como $\mathrm{\angle }DAB=\alpha ,$ $\mathrm{\angle }ABC=\beta ,$ $\mathrm{\angle }BCD=\gamma ,$ y $\mathrm{\angle }CDA=\delta .$ Si $E$ es el punto de intersección de las diagonales, denotando $\mathrm{\angle }CED=\theta ,$ entonces:

$\begin{array}{cc}\frac{a+c}{b+d}& =\frac{\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}{\cos \frac{1}{2}(\gamma -\delta )}\tan \frac{1}{2}\theta ,\\ \frac{a-c}{b-d}& =\frac{\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}{\sin \frac{1}{2}(\delta -\gamma )}\cot \frac{1}{2}\theta .\end{array}$

Un triángulo puede considerarse como un cuadrilátero con un lado de longitud cero. Desde esta perspectiva, a medida que $d$ se aproxima a cero, un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo cíclico (todos los triángulos son cíclicos), y las fórmulas anteriores se simplifican a las fórmulas análogas de triángulos.

Véase también

• Teorema del seno
• Teorema del coseno
• Teorema de la tangente

Bibliografía

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