Semimartingala

Una semimartingala es un tipo de proceso estocástico que aparece frecuentemente en integración estocástica, más específicamente un proceso estocástico $X$ es una semimartingala si puede descomponerse como suma de una martingala local y un proceso adaptado y de variación finita.

La clase de todas las martingalas definidas sobre un espacio de probabilidad, en el que se ha definido una filtración de σ-álgebras. Además las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la mayor clase posible de procesos estocásticos respecto a las cuales se puede definir la integral de Itō y la integral de Stratonovich.

Definición

Definición previa

Un proceso $X$ es una semimartingala total si $X$ es un proceso de tipo càdlàg, adaptado y tal que $I_X:𝐒\to L^0$ es continuo.

Recúerdese que para un proceso estocástico $X$ y un tiempo de parada $t$, la notación $X^t$ denota al proceso $(X_{t\wedge T}{)}_{t\ge 0}$ (donde $s\wedge t:=\min (s,t)$, con esa notación se define el concepto general de semimartingala:

Definición

Un proceso $X$ se denomina semimartingala si, para cada $t\in [0,\mathrm{\infty })$ el proceso $X^t$ es una semimartingala total.

Una definición alternativa es la siguiente:

Un proceso estocástico definido sobre la filtración $(\mathrm{\Omega },ℱ,({ℱ}_t{)}_{t\ge 0},\mathrm{P})$ se denomina semimartingala si puede descomponerse en la forma:
$X_t=M_t+A_t$ donde $M$ es una maritingala local y $A$ es un proceso adaptado de tipo càdlàg que localmente es de variación acotada.

Un proceso estocástico con valores en ${ℝ}^n$ es una semimartingala si cada una de sus componentes $X=(X^1,\dots ,X^n)$ es una semimartignala.

Ejemplos

• El proceso de Wiener (o movimiento browniano) es una semimartingala.
• Un proceso estocástico adaptado con caminos de tipo càdlag de variación finita sobre compactos es una semimartingala.
• Toda martingala de cuadrado integrable con caminos de tipo càdlàg es una semimartingala.
• Toda martingala local de tipo càdlàg y localmente de cuadradro integrable es una semimartingala.
• Una martingala local con caminos continuos es una semimartingala.
• Un proceso estocástico adaptado de tipo càdlàg X_t y descomponible como suma $X_t=X_0+M_t+A_t$, donde A₀ = M₀ = 0, donde M es localmente de cuadrado integrable, A es de tipo càdlàg, adaptado y con caminos de variación finita sobre compactos, es una semimartingala.

Semimartingalas e integración

Sea X un proceso estocástico para el cual se define un operador integral I_X asociado a X. Para que dicho operador pueda ser entendido como una "integral" debería cumplir algunos requisitos razonables: debe ser lineal y debería satisfacer cierta versión del teorema de la convergencia acotada. Una forma débil de esta convergencia acotada es que la convergencia uniforme de procesos de una sucesión de procesos H_n a H implique solamente la convergencia en probabilidad de I_X(H_n) a I_X(H).

A partir de las consideraciones anteriores, dado un proceso X se define una aplicación lineal $I_X:𝐒\to L^0(\mathrm{\Omega })$ definida por:

$I_X(H)=H_0{X}_0+\sum _{i=1}^n{H}_i(X_{T_{i+1}}-X_{T_i})$

donde $𝐒$ denota el espacio de todos los procesos estocásticos simples y predictibles sobre el espacio de probabilidad considerado (con la topología adecuadada sobre $𝐒$). En la ecuación anterior el integrando $H\in 𝐒$ es un proceso estocástico que admitiría la representación:

$H_t=H_0{1}_{\{0\}}+\sum _{i=1}^n{H}_i{1}_{(T_i,T_{i+1}]}$

donde:

$1_A(\cdot )$ es la función característica del conjunto $A$ que vale 1 si el argumento de la función pertenece a A y 0 en caso contrario.

Propiedades

Esta sección recoge algunos teoremas que aclaran el concepto de semimartingala definida sobre un espacio de probabilidad $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$.

Estabilidad

Si Q es una medida de probabilidad y es absolutamente continua respecto a P, entonces toda P-semimartingala X es una Q-semimartingala.

Esta última propiedad se sigue del hecho de que la convergencia en probabilidad respecto a P implica la convergencia respecto a Q, por ser absolutamente continua esta probabilidad respecto de la otra. Otro resultado interesante es el siguiente:

Sea $(P_k{)}_{k\ge 1}$ una sucesión de medidas de probabilidad tales que X es una $(P_k)-$semimartingala para cada k. Sea $R=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{P}_k$, donde ${\lambda }_k\ge 0$, y además $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k=1$. Entonces X es una semimartingala con respecto a R también.

Referencias

Bibliografía

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