Σ-álgebra

Plantilla:Título en minúscula En matemáticas, una $\sigma$-álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto $\mathrm{\Omega }$ es una familia $𝒜\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ no vacía de subconjuntos de $\mathrm{\Omega }$, cerrada bajo complementarios y uniones numerables. Las $\sigma$-álgebras se usan principalmente para definir medidas. Es un concepto muy importante en análisis matemático y teoría de la probabilidad.

Definición

Plantilla:Definición Al par $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ se le llama espacio medible o espacio probabilizable, en función del contexto.

A los elementos de $𝒜$ se les llama conjuntos $𝒜$-medibles (o simplemente conjuntos medibles). En un contexto probabilístico, se les suele llamar sucesos.

Obsérvese que, al imponer que $𝒜$ sea no vacía, se puede suprimir la primera condición. Asimismo, se puede obtener otra definición equivalente suprimiendo la condición de que $𝒜$ sea no vacía.

Propiedades

Cabe destacar otra propiedad importante relativa a las $\sigma$-álgebras: Plantilla:Teorema

Por el contrario, la unión de $\sigma$-álgebras no es en general una $\sigma$-álgebra.

Ejemplos

• Para cualquier conjunto $\mathrm{\Omega }$, la familia $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$ es una $\sigma$-álgebra (la menor $\sigma$-álgebra posible sobre $\mathrm{\Omega }$). Esta $\sigma$-álgebra se denomina $\sigma$-álgebra trivial.
• Para cualquier conjunto $\mathrm{\Omega }$, la familia $𝒫(\mathrm{\Omega })$ (conjunto potencia) es una $\sigma$-álgebra (la mayor $\sigma$-álgebra posible sobre $\mathrm{\Omega }$).
• Si $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$, la familia $𝒜=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b,c,d\},\mathrm{\Omega }\}$ es una $\sigma$-álgebra (la menor que contiene al conjunto $\{a\}$).
• Para cualquier conjunto $\mathrm{\Omega }$, la familia $\{A\in 𝒫(\mathrm{\Omega }):A\text{ o }{A}^c\text{ numerable}\}$ (subconjuntos numerables o de complementario numerable) es una $\sigma$-álgebra. Esta familia es distinta del conjunto potencia de $\mathrm{\Omega }$ si y sólo si $\mathrm{\Omega }$ es no numerable.

σ-álgebra generada por una familia de subconjuntos

Se construye como intersección de todas las $\sigma$-álgebras que contienen a $𝒮$.

Ejemplos

• Si $A\in 𝒫(\mathrm{\Omega }):A\ne \mathrm{\varnothing },A\ne \mathrm{\Omega }$, entonces $\sigma \left(A\right)=\{\mathrm{\varnothing },A,A^c,\mathrm{\Omega }\}$. Concretamente, si $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$, entonces tenemos el ejemplo antes visto: $\sigma (\{a\})=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b,c,d\},\mathrm{\Omega }\}$.
• Sea $𝒮=\{\{x\}:x\in \mathrm{\Omega }\}$. Entonces $\sigma \left(𝒮\right)=\{A\in 𝒫(\mathrm{\Omega }):A\text{ o }{A}^c\text{ numerable}\}$, otro ejemplo mencionado anteriormente.

σ-álgebra de Borel

A sus elementos se les llama conjuntos de Borel o borelianos.

Funciones medibles

Plantilla:Ap Plantilla:Definición Esta definición inspira la construcción de dos nuevas $\sigma$-álgebras:

σ-álgebra mínima

Plantilla:Teorema Por construcción, esta es la mínima $\sigma$-álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre ${\mathrm{\Omega }}_1$ tal que la función $f:({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒜}_1)\to ({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒜}_2)$ es medible.

σ-álgebra máxima

Plantilla:Teorema Por construcción, esta es la máxima $\sigma$-álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre ${\mathrm{\Omega }}_2$ tal que la función $f:({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒜}_1)\to ({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒜}_2)$ es medible.

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Anillo de conjuntos

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Medida e integración , Mauro Chumpitaz (1989) UNI- Lima.
• Teoría de la medida, Mauro Chumpitaz (1991) UNI- Lima.