Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.

Tipo homogénea ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

es del tipo homogénea si las funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones homogéneas de mismo grado $n$. Esto es, multiplicando cada variable por un parámetro $\lambda$, se halla

$M(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}M(x,y)$     y     $N(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}N(x,y).$

Así,

$\frac{M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}.$

Método de resolución

En el cociente

$\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$

haciendo $t=1/x$ para simplificar esta ecuación para una función $f$ de la variable simple $y/x$:

$\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x).$

Se introduce el cambio de variables $y=ux$; diferenciando usando la regla del producto:

$\frac{d(ux)}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\frac{dx}{dx}=x\frac{du}{dx}+u,$

así transformando la ecuación diferencial original en la forma separable

$x\frac{du}{dx}=-f(u)-u;$

esta forma puede ahora integrarse directamente (ver ecuación diferencial ordinaria).

Caso especial

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma (a, b, c, e, f, g son coeficientes constantes)

$(ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0$

donde af ≠ be puede transformarse en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables ($\alpha$ y $\beta$ son constantes):

$t=x+\alpha ;z=y+\beta .$

Ahora determinar dichas constantes de forma que los términos independientes sean nulos.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Una ecuación diferencial lineal puede representarse con un operador lineal actuando sobre y(x) donde x es usualmente la variable independiente e y es la variable dependiente. Entonces, la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea es

$L(y)=0$

${\displaystyle }$donde L es un operador diferencial, una suma de las derivadas (definiendo como "derivada 0" a la función original, no derivada), cada una multiplicada por otra función  $f_i$  de x:

$L=\sum _{i=0}^n{f}_i(x)\frac{d^i}{d{x}^i},$

donde  $f_i$  pueden ser constantes, pero no todas las  $f_i$  pueden ser nulas.

Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial es homogénea:

$\sin (x)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4\frac{dy}{dx}+y=0,$

sin embargo las siguientes dos son inhomogéneas:

$2x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4x\frac{dy}{dx}+y=\cos (x);$

$2x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-3x\frac{dy}{dx}+y=2.$

La existencia de un término constante es una condición suficiente para que una ecuación sea inhomogénea, como el ejemplo anterior.

Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes de orden mayor o igual a dos

Son de especial relevancia este otro tipo de ecuaciones, en cuya versión más simplificada son de la forma :$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$, donde los coeficientes son constantes con $a\ne 0$.

La solución de este tipo de ecuación es la combinación lineal de exponenciales cuyo argumento es el producto de la variable independiente con la que tiene dependencia la función, y la constante real, imaginaria o compleja $r$ que soluciona el polinomio característico de la ecuación, esto es:

$y(x)=\sum _i{a}_i{\mathrm{e}}^{rx}$

De forma explícita aplicado a una ecuación de segundo orden:

$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0\to {\mathrm{e}}^{rt}(a{r}^2+br+c)=0$ las soluciones serán $r_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, de modo que se anule para todo $x$ el término que acompaña la exponencial cumpliéndose la igualdad. De este modo, la solución viene dada por $y(x)=a{\mathrm{e}}^{r_{1}x}+b{\mathrm{e}}^{r_{2}x}$. Las constantes $a$ y $b$ quedan definidas en caso de darse tantas condiciones iniciales o de contorno como el grado de la ecuación, en este caso dos. Por ejemplo, dado que $y(0)=k$ y $y^{\prime }(0)=k^{\prime }$ las constantes se obtendrían resolviendo el sistema de ecuaciones:

$a{\xcancel{{\mathrm{e}}^{r_{1}0}}}^1+b{\xcancel{{\mathrm{e}}^{r_{2}0}}}^1=k$

$a{r}_1{\xcancel{{\mathrm{e}}^{r_{1}0}}}^1+b{r}_2{\xcancel{{\mathrm{e}}^{r_{2}0}}}^1=k^{\prime }$

Véase también

• Método de separación de variables
• Teorema de Picard-Lindelöf

Referencias

Bibliografía

• Plantilla:Citation.
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Enlaces externos

• Ecuaciones diferenciales homogéneas en MathWorld. (en inglés)