Función homogénea

En matemáticas, una función homogénea es una función tal que, si todos sus argumentos se multiplican por un escalar, entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar, llamado grado de homogeneidad, o simplemente el grado; es decir, si Plantilla:Mvar es un número entero, una función Plantilla:Mvar de variables Plantilla:Mvar es homogénea de grado Plantilla:Mvar si

$f(s{x}_1,\dots ,s{x}_n)=s^{k}f(x_1,\dots ,x_n)$

para cada $x_1,\dots ,x_n,$ y $s\ne 0.$

Expresado de otra manera, es una función que presenta un interesante comportamiento multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).

Definición formal

Supongamos una función cuya definición es $f:V\to W$ entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $F$. Entonces se dice que $f$ es homogénea de grado k si: Plantilla:Ecuación

Ejemplos

Las funciones lineales

Cualquier función lineal $f:V\to W$ es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene: Plantilla:Ecuación para todo $\alpha \in F$ y $𝐯\in V$. Del mismo modo, cualquier función multilineal $f:V_1\times \dots \times V_n\to W$ es homogénea de grado n, por definición. Plantilla:Ecuación para todo $\alpha \in F$ y ${𝐯}_1\in V_1,\dots ,{𝐯}_n\in V_n$. Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función $f:X\to Y$ entre dos espacios de Banach $X$ y $Y$ es homogénea de grado $n$.

Polinomios homogéneos

Los monomios de $n$ variables reales definen funciones homogéneas$f:{ℝ}^n\to ℝ$. Por ejemplo, Plantilla:Ecuación es homogénea de grado 10 puesto que: Plantilla:Ecuación Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo, Plantilla:Ecuación es un polinomio homogéneo de grado 5.

Propiedades

• El teorema de Euler sobre funciones homogéneas establece:

• Teorema: Sea $f:{ℝ}^n\to ℝ$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden $\partial f/\partial x_i$ son funciones homogéneas de grado k-1. es decir Plantilla:Ecuación

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.

Aplicación a las EDOs

La substitución $v=y/x$ convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO) Plantilla:Ecuación Donde $I$ y $J$ son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable: Plantilla:Ecuación

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Función homogénea en Planet Math