Álgebra superconforme

En física teórica, el álgebra superconforme es un álgebra de Lie graduada o superálgebra que combina el álgebra conforme y la supersimetría. En dos dimensiones, el álgebra superconforme es infinito-dimensional. En dimensiones más altas, las álgebras superconformes son finito-dimensionales y generan el grupo superconforme (en dos dimensiones euclidianas, la superálgebra de Lie no genera cualquier supergrupo de Lie).

Álgebra Superconforme en dimensión mayor que 2

El grupo conforme del espacio $(p+q)$-dimensional ${ℝ}^{p,q}$es $SO(p+1,q+1)$ y su álgebra de Lie es $𝔰𝔬(p+1,q+1)$. El álgebra superconforme es un superálgebra de Lie que contiene el factor bosónico $𝔰𝔬(p+1,q+1)$y cuyos generadores impares se transforman bajo representaciones espinoriales de $𝔰𝔬(p+1,q+1)$. Dada la clasificación de Kač de los superálgebras de Lie simples de dimensión finita, esto solo puede suceder para valores pequeños de $p$y $q$. Una lista (posiblemente incompleta es

• ${𝔬𝔰𝔭}^{*}(2N|2,2)$en 3+0D (dimensiones) gracias a que $𝔲𝔰𝔭(2,2)\simeq 𝔰𝔬(4,1)$$𝔲𝔰𝔭(2,2)\simeq 𝔰𝔬(4,1)$;
• $𝔬𝔰𝔭(N|4)$en 2+1D gracias a que $𝔰𝔭(4,ℝ)\simeq 𝔰𝔬(3,2)$;
• ${𝔰𝔲}^{*}(2N|4)$en 4+0D gracias a que ${𝔰𝔲}^{*}(4)\simeq 𝔰𝔬(5,1)$;
• $𝔰𝔲(2,2|N)$en 3+1D gracias a que $𝔰𝔲(2,2)\simeq 𝔰𝔬(4,2)$;
• $𝔰𝔩(4|N)$en 2+2D gracias a que $𝔰𝔩(4,ℝ)\simeq 𝔰𝔬(3,3)$;
• formas reales de $F(4)$en 5 dimensiones;
• $𝔬𝔰𝔭(8^{*}|2N)$en 5+1D gracias al hecho de que las representaciones espinorial y fundamental de $𝔰𝔬(8,ℂ)$se pueden mapear mediante automorfismos exteriores.

Álgebra superconforme en 3+1D

De acuerdo con el álgebra superconforme con $𝒩$supersimetrías en 3+1 dimensiones está dado por los generadores bosónicos $P_{\mu }$, $D$, $M_{\mu \nu }$, $K_{\mu }$la R-simetría U(1) $A$, la R-simetría SU(N) $T_j^i$y los generadores fermiónicos $Q^{\alpha i}$, ${\bar{Q}}_i^{\dot{\alpha }}$, $S_i^{\alpha }$y ${\bar{S}}^{\dot{\alpha }i}$. Aquí, $\mu ,\nu ,\rho ,\dots$denotan índices espaciotemporales; $\alpha ,\beta ,\dots$índices espinorales de Weyl izquierdos; $\dot{\alpha },\dot{\beta },\dots$índices espinorales de Weyl derechos; y $i,j,\dots$ los índices de la R-simetría interna.

Los supercorchetes de Lie del álgebra conforme bosnico están dados por

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]={\eta }_{\nu \rho }{M}_{\mu \sigma }-{\eta }_{\mu \rho }{M}_{\nu \sigma }+{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\rho \mu }-{\eta }_{\mu \sigma }{M}_{\rho \nu }$

$[M_{\mu \nu },P_{\rho }]={\eta }_{\nu \rho }{P}_{\mu }-{\eta }_{\mu \rho }{P}_{\nu }$

$[M_{\mu \nu },K_{\rho }]={\eta }_{\nu \rho }{K}_{\mu }-{\eta }_{\mu \rho }{K}_{\nu }$

$[M_{\mu \nu },D]=0$

$[D,P_{\rho }]=-P_{\rho }$

$[D,K_{\rho }]=+K_{\rho }$

$[P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2{\eta }_{\mu \nu }D$

$[K_n,K_m]=0$

$[P_n,P_m]=0$

Dónde η es la métrica de Minkowski; mientras que los de los generadores fermiónicos son:

$\{Q_{\alpha i},{\bar{Q}}_{\dot{\beta }}^j\}=2{\delta }_i^j{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{P}_{\mu }$

$\{Q,Q\}=\{\bar{Q},\bar{Q}\}=0$

$\{S_{\alpha }^i,{\bar{S}}_{\dot{\beta }j}\}=2{\delta }_j^i{\sigma }_{\alpha \dot{\beta }}^{\mu }{K}_{\mu }$

$\{S,S\}=\{\bar{S},\bar{S}\}=0$

$\{Q,S\}=$

$\{Q,\bar{S}\}=\{\bar{Q},S\}=0$

Los generadores conformes bosónicos no portan R-cargas, dado que conmutan con los generadores de la R-simetría:

$[A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0$

$[T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0$

Pero los generadores fermiónicos si portan R-carga:

$[A,Q]=-\frac{1}{2}Q$

$[A,\bar{Q}]=\frac{1}{2}\bar{Q}$

$[A,S]=\frac{1}{2}S$

$[A,\bar{S}]=-\frac{1}{2}\bar{S}$

$[T_j^i,Q_k]=-{\delta }_k^i{Q}_j$

$[T_j^i,{\bar{Q}}^k]={\delta }_j^k{\bar{Q}}^i$

$[T_j^i,S^k]={\delta }_j^k{S}^i$

$[T_j^i,{\bar{S}}_k]=-{\delta }_k^i{\bar{S}}_j$

Bajo transformaciones conformes bosónicas, los generadores fermiónicos se trasforman como:

$[D,Q]=-\frac{1}{2}Q$

$[D,\bar{Q}]=-\frac{1}{2}\bar{Q}$

$[D,S]=\frac{1}{2}S$

$[D,\bar{S}]=\frac{1}{2}\bar{S}$

$[P,Q]=[P,\bar{Q}]=0$

$[K,S]=[K,\bar{S}]=0$

Álgebra superconforme en 2D

Hay dos álgebras posibles con supersimetría mínima en dos dimensiones; un álgebra de Neveu–Schwarz y un álgebra de Ramond Son posibles supersimetrías adicionales, por ejemplo el álgebra superconforme N=2.

Véase también

• Simetría conforme
• Álgebra super Virasoro
• Álgebra de supersimetría