Ángulo tangencial

Ángulo tangencial Plantilla:Mvar en un punto de una curva Plantilla:Mvar.

En geometría, el ángulo tangencial en un punto específico de una curva del plano cartesiano, es el ángulo formado entre la recta tangente a la curva en el punto dado y el eje Plantilla:Mvar. Debe tenerse en cuenta que algunos autores definen el ángulo como la desviación de la dirección de la curva con respecto a algún punto de partida fijo. Esto es equivalente a la definición dada aquí mediante la adición de una constante al ángulo o a rotar la posición de la curva.

Ecuaciones

Si Plantilla:Math define una curva paramétricamente, el ángulo tangencial Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar está definido (hasta un múltiplo de Plantilla:Math) por

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)|}=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

Aquí, la prima (') indica la derivada con respecto a Plantilla:Mvar. Si se considera en términos cinemáticos que la ecuación anterior representa el movimiento de una partícula respecto al tiempo, el ángulo tangencial especifica la dirección del vector velocidad Plantilla:Math, mientras que la magnitud del vector especifica su celeridad. El vector

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)|}$

se llama vector tangente unitario, por lo que una definición equivalente es que el ángulo tangencial en Plantilla:Mvar es el ángulo Plantilla:Mvar tal que Plantilla:Math es el vector tangente unitario en Plantilla:Mvar.

Si la curva está parametrizada por la longitud de arco Plantilla:Mvar, entonces Plantilla:Math, la definición se simplifica a

$(x^{\prime }(s),y^{\prime }(s))=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

En este caso, la curvatura Plantilla:Mvar viene dada por Plantilla:Math, donde se considera que Plantilla:Mvar es positiva si la curva gira hacia la izquierda y negativo si la curva gira hacia la derecha.

Si la curva está dada por Plantilla:Math, entonces se puede tomar Plantilla:Math como parametrización, y suponer que Plantilla:Mvar está entre Plantilla:Math y Plantilla:Math. Esto produce la expresión explícita

$\phi =\arctan f^{\prime }(x).$

Plantilla:AnchorÁngulo tangencial polar

En coordenadas polares, el ángulo tangencial polar se define como el ángulo entre la línea tangente a la curva en el punto dado y el radio desde el origen hasta el punto. Si Plantilla:Mvar indica el ángulo tangencial polar, entonces Plantilla:Math, Plantilla:Mvar se ajusta a la definición ya dada y Plantilla:Mvar es el ángulo polar.

Si la curva se define en coordenadas polares con Plantilla:Math, entonces se define el ángulo tangencial polar Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar (hasta un múltiplo de Plantilla:Math) por

$\frac{(f^{\prime }(\theta ),f(\theta ))}{|f^{\prime }(\theta ),f(\theta )|}=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

Si la curva se parametriza por la longitud de arco Plantilla:Mvar como Plantilla:Math, Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math, y la definición toma la forma

$(r^{\prime }(s),r{\theta }^{\prime }(s))=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

La espiral logarítmica se puede definir como una curva cuyo ángulo tangencial polar es constante.

Véase también

• Geometría diferencial de curvas
• Ecuación de Whewell
• Subtangente

Referencias

Lecturas adicionales

• Plantilla:Cite web
• Plantilla:Cite book

Plantilla:Control de autoridades