Anexo:Pendientes y deformaciones en vigas

En este artículo se muestran las fórmulas que se aplican para calcular pendientes y deformaciones en vigas, o sea la flecha máxima y el giro en el apoyo para algunos casos particulares de la curva elástica que se produce en vigas sometidas a cargas.

Vigas con soportes simples (biapoyadas)

En las siguientes fórmulas E designa al módulo de Young del material en que está construida la viga, e I al segundo momento de área de la sección transversal de la misma y L la luz de la viga:

Tipo de carga	Pendiente	Deformación	Curva elástica
Viga con carga concentrada P a media longitud	$\theta {}_1=-\theta {}_2=-\frac{P{L}^2}{16EI}$	$y_{\max }=\frac{-P{L}^3}{48EI}$ para $x=\frac{L}{2}$	$y=-\frac{Px{L}^2}{16EI}(1-\frac{4}{3}\frac{x^2}{L^2})x<\frac{L}{2}$
Viga con carga concentrada en cualquier longitud	$\theta {}_1=-\frac{Pab(L+b)}{6EIL}$	$y_{\max }=-\frac{P}{9EI}\frac{b}{\sqrt{3}L}(L^2-b^2{)}^{\frac{3}{2}}$ para $x=\sqrt{\frac{L^2-b^2}{3}}$	$y=-\frac{PLbx}{6EI}(1-\frac{b^2+x^2}{L^2})x<a$
Viga con carga distribuida constante sobre toda su longitud	${\theta }_{\max }=-\frac{q{L}^3}{24EI}$	$y_{\max }=-\frac{-5q{L}^4}{384EI}$	$y(x)=-\frac{qx}{24EI}(x^3-2L{x}^2+L^3)$
Viga con momento aplicado al inicio	$\theta {}_1=\frac{M_{0}L}{3EI}$ ${\theta }_2=-\frac{M_{0}L}{6EI}$	$y_{\max }=\frac{M_0{L}^2}{9\sqrt{3}EI}$ para $x=L(1-\frac{1}{\sqrt{3}})$	$y=\frac{M_{0}L}{6EI}(L-x)(1-\frac{(L-x{)}^2}{L^2})$

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas)

Tipo de carga	Pendiente	Deformación	Curva elástica
Ménsula con carga concentrada al extremo	$\theta {}_{\max }=\frac{-P{L}^2}{2EI}$	$y_{\max }=\frac{-P{L}^3}{3EI}$	$y=\frac{-P{x}^2}{6EI}(3L-x)$
Ménsula con carga concentrada en un punto intermedio (a una distancia $a$ del extremo empotrado)	$\theta {}_{\max }=\frac{-P{a}^2}{2EI}$	$y_{\max }=-P{a}^2\frac{(3L-a)}{6EI}$	cuando $x<a$: $y=\frac{-P{x}^2}{6EI}(3a-x)$ cuando $x>a$: $y=\frac{-P{a}^2}{6EI}(3x-a)$
Ménsula con carga distribuida constante sobre toda su longitud	$\theta {}_{\max }=\frac{-w{L}^3}{6EI}$	$y_{\max }=\frac{-w{L}^4}{8EI}$	$y=\frac{-w{x}^2}{24EI}(x^2-4Lx+6L^2)$
Ménsula con carga distribuida constante sobre parte de su longitud	$\theta {}_{\max }=\frac{-w}{6EI}(a^3-15c^3+3ac(a+c))$ $y_{\max }=\frac{-wc{a}^2}{3EI}(L(3+\frac{c^2}{a^2})-a(1+\frac{c^2}{a^2}))$
Ménsula con un momento puntal M0 en el extremo	$\theta {}_{\max }=-\frac{M_{0}L}{EI}$	$y_{\max }=-\frac{M_0{L}^2}{2EI}$	$y(x)=-\frac{-M_0{x}^2}{2EI}$
Ménsula con un momento puntal M0 en el vano	$\theta {}_{\max }=-\frac{M_{0}a}{EI}$	$y_{\max }=-\frac{M_0{a}^2}{2EI}-\frac{M_{0}ab}{EI}$	$y(x)=\{\begin{array}{cc}-\frac{-M_0{x}^2}{2EI}& x\le a\\ -\frac{M_0{a}^2}{2EI}-\frac{M_{0}a(x-a)}{EI}& a\le x\le L\end{array}$

Vigas biempotradas

Las vigas biempotradas son casos de vigas hiperestáticas que requieren la determinación de los momentos de empotramiento, antes de poder calcular directamente las pendientes y los desplazamientos sobre las mismas.

Tipo de carga	Reacciones	Pendiente, desplazamiento máximo y curva elástica
Biempotrada con carga uniforme en una porción simétricamente distribuida	$R_A=+\frac{qL}{2}{R}_B=+\frac{qL}{2}$ $M_A=+\frac{q{L}^2}{12},M_B=-\frac{q{L}^2}{12}$ $M_f(x)=-\frac{q{L}^2}{12}+\frac{qx(L-x)}{2}$	$\theta {}_{\max }=\frac{\sqrt{3}q{L}^3}{216}$ $y_{\max }=-\frac{q{L}^4}{384EI}$ $y=-\frac{q{x}^2}{24EI}(L-x{)}^2$
Biempotrada con carga uniforme en una porción asimétricamente distribuida		$\theta {}_{\max }=$ $y_{\max }=$ $y=$

Véase también

• Fibra neutra

Enlaces externos

• Prontuario de solicitaciones y deformaciones en vigas