Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan

Para ver su formulación y definición formal vea coeficientes Clebsch—Gordan.

Esta es una tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan usada para sumar momentos angulares en mecánica cuántica. El signo global de los coeficientes para cada conjunto de $j_1$, $j_2$ y $j$ constantes es en cierto grado arbitrario y ha sido fijado de acuerdo con la convención de Condon-Shortley y Wigner como viene dada en Baird and Biedenharn . Tablas con la misma convención de signos pueden ser encontradas en Review of Particle Properties del Particle Data Group y en tablas en línea.

Formulación

Los estados de momento angular total pueden ser expandidos usando la relación de completitud en las bases de momentos angulares parciales como

$|(j_1{j}_2)JM⟩=\sum _{m_1=-j_1}^{j_1}\sum _{m_2=-j_2}^{j_2}|j_1{m}_1{j}_2{m}_2⟩⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|JM⟩=\sum _{m_1=-j_1}^{j_1}\sum _{m_2=-j_2}^{j_2}|j_1{m}_1⟩|j_2{m}_2⟩⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|JM⟩$

Los coeficientes $⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|JM⟩$ de la expansión son los coeficientes de Clebsch–Gordan. Estos se pueden escribir explícitamente como

$⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|jm⟩={\delta }_{m,m_1+m_2}\sqrt{\frac{(2j+1)(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!(j_1+j_2-j)!}{(j_1+j_2+j+1)!}}\times$

$\sqrt{(j+m)!(j-m)!(j_1-m_1)!(j_1+m_1)!(j_2-m_2)!(j_2+m_2)!}\times$

$\sum _k\frac{(-1{)}^k}{k!(j_1+j_2-j-k)!(j_1-m_1-k)!(j_2+m_2-k)!(j-j_2+m_1+k)!(j-j_1-m_2+k)!}.$

Donde la suma se hace sobre todos los k enteros para los para los que los argumentos de todos los factoriales involucrados sean no negativos. Por brevedad, las soluciones con $m<0$ son omitidas, pero pueden ser calculadas usando la siguiente relación

$⟨j_1,m_1,j_2,m_2|j,m⟩=(-1{)}^{j-j_1-j_2}⟨j_1,-m_1,j_2,-m_2|j,-m⟩$ .

j₁=1/2, j₂=1/2

m=1	j=
m1, m2=	1 1/2, 1/2 $1$

m=0	j=
m1, m2=	1 0 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

j₁=1, j₂=1/2

m=3/2	j=
m1, m2=	3/2 1, 1/2 $1$

m=1/2	j=
m1, m2=	3/2 1/2 1, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 0, 1/2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$

j₁=1, j₂=1

m=2	j=
m1, m2=	2 1, 1 $1$

m=1	j=
m1, m2=	2 1 1, 0 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 0, 1 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

m=0	j=
m1, m2=	2 1 0 1, -1 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 0, 0 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ -1, 1 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$

j₁=3/2, j₂=1/2

m=2	j=
m1, m2=	2 3/2, 1/2 $1$

m=1	j=
m1, m2=	2 1 3/2, -1/2 $\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ $-\frac{1}{2}$

m=0	j=
m1, m2=	2 1 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

j₁=3/2, j₂=1

m=5/2	j=
m1, m2=	5/2 3/2, 1 $1$

m=3/2	j=
m1, m2=	5/2 3/2 3/2, 0 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 1/2, 1 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$

m=1/2	j=
m1, m2=	5/2 3/2 1/2 3/2, -1 $\sqrt{\frac{1}{10}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 1/2, 0 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{15}}$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ -1/2, 1 $\sqrt{\frac{3}{10}}$ $-\sqrt{\frac{8}{15}}$ $\sqrt{\frac{1}{6}}$

j₁=3/2, j₂=3/2

m=3	j=
m1, m2=	3 3/2, 3/2 $1$

m=2	j=
m1, m2=	3 2 3/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 1/2, 3/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

m=1	j=
m1, m2=	3 2 1 3/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ 1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ -1/2, 3/2 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$

m=0	j=
m1, m2=	3 2 1 0 3/2, -3/2 $\sqrt{\frac{1}{20}}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{9}{20}}$ $\frac{1}{2}$ 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{9}{20}}$ $\frac{1}{2}$ $-\sqrt{\frac{1}{20}}$ $-\frac{1}{2}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{9}{20}}$ $-\frac{1}{2}$ $-\sqrt{\frac{1}{20}}$ $\frac{1}{2}$ -3/2, 3/2 $\sqrt{\frac{1}{20}}$ $-\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{9}{20}}$ $-\frac{1}{2}$

j₁=2, j₂=1/2

m=5/2	j=
m1, m2=	5/2 2, 1/2 $1$

m=3/2	j=
m1, m2=	5/2 3/2 2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $\sqrt{\frac{4}{5}}$ 1, 1/2 $\sqrt{\frac{4}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$

m=1/2	j=
m1, m2=	5/2 3/2 1, -1/2 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 0, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$

j₁=2, j₂=1

m=3	j=
m1, m2=	3 2, 1 $1$

m=2	j=
m1, m2=	3 2 2, 0 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 1, 1 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$

m=1	j=
m1, m2=	3 2 1 2, -1 $\sqrt{\frac{1}{15}}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 1, 0 $\sqrt{\frac{8}{15}}$ $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ 0, 1 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{10}}$

m=0	j=
m1, m2=	3 2 1 1, -1 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ 0, 0 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ -1, 1 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$

j₁=2, j₂=3/2

m=7/2	j=
m1, m2=	7/2 2, 3/2 $1$

m=5/2	j=
m1, m2=	7/2 5/2 2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{4}{7}}$ 1, 3/2 $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $-\sqrt{\frac{3}{7}}$

m=3/2	j=
m1, m2=	7/2 5/2 3/2 2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{7}}$ $\sqrt{\frac{16}{35}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 1, 1/2 $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ 0, 3/2 $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $-\sqrt{\frac{18}{35}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$

m=1/2	j=
m1, m2=	7/2 5/2 3/2 1/2 2, -3/2 $\sqrt{\frac{1}{35}}$ $\sqrt{\frac{6}{35}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 1, -1/2 $\sqrt{\frac{12}{35}}$ $\sqrt{\frac{5}{14}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ 0, 1/2 $\sqrt{\frac{18}{35}}$ $-\sqrt{\frac{3}{35}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ -1, 3/2 $\sqrt{\frac{4}{35}}$ $-\sqrt{\frac{27}{70}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{10}}$

j₁=2, j₂=2

m=4	j=
m1, m2=	4 2, 2 $1$

m=3	j=
m1, m2=	4 3 2, 1 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 1, 2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

m=2	j=
m1, m2=	4 3 2 2, 0 $\sqrt{\frac{3}{14}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ 1, 1 $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{3}{7}}$ 0, 2 $\sqrt{\frac{3}{14}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$

m=1	j=
m1, m2=	4 3 2 1 2, -1 $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ 1, 0 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ 0, 1 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ -1, 2 $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$

m=0

j=

m1, m2=

4 3 2 1 0 2, -2 $\sqrt{\frac{1}{70}}$ $\sqrt{\frac{1}{10}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ 1, -1 $\sqrt{\frac{8}{35}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{1}{10}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ 0, 0 $\sqrt{\frac{18}{35}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{2}{7}}$ $0$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ -1, 1 $\sqrt{\frac{8}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{1}{10}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ -2, 2 $\sqrt{\frac{1}{70}}$ $-\sqrt{\frac{1}{10}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$

j₁=5/2, j₂=1/2

m=3	j=
m1, m2=	3 5/2, 1/2 $1$

m=2	j=
m1, m2=	3 2 5/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $\sqrt{\frac{5}{6}}$ 3/2, 1/2 $\sqrt{\frac{5}{6}}$ $-\sqrt{\frac{1}{6}}$

m=1	j=
m1, m2=	3 2 3/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$

m=0	j=
m1, m2=	3 2 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

j₁=5/2, j₂=1

m=7/2	j=
m1, m2=	7/2 5/2, 1 $1$

m=5/2	j=
m1, m2=	7/2 5/2 5/2, 0 $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $\sqrt{\frac{5}{7}}$ 3/2, 1 $\sqrt{\frac{5}{7}}$ $-\sqrt{\frac{2}{7}}$

m=3/2	j=
m1, m2=	7/2 5/2 3/2 5/2, -1 $\sqrt{\frac{1}{21}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 3/2, 0 $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $\sqrt{\frac{9}{35}}$ $-\sqrt{\frac{4}{15}}$ 1/2, 1 $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $-\sqrt{\frac{16}{35}}$ $\sqrt{\frac{1}{15}}$

m=1/2	j=
m1, m2=	7/2 5/2 3/2 3/2, -1 $\sqrt{\frac{1}{7}}$ $\sqrt{\frac{16}{35}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 1/2, 0 $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ -1/2, 1 $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $-\sqrt{\frac{18}{35}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$

j₁=5/2, j₂=3/2

m=4	j=
m1, m2=	4 5/2, 3/2 $1$

m=3	j=
m1, m2=	4 3 5/2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ $\sqrt{\frac{5}{8}}$ 3/2, 3/2 $\sqrt{\frac{5}{8}}$ $-\sqrt{\frac{3}{8}}$

m=2	j=
m1, m2=	4 3 2 5/2, -1/2 $\sqrt{\frac{3}{28}}$ $\sqrt{\frac{5}{12}}$ $\sqrt{\frac{10}{21}}$ 3/2, 1/2 $\sqrt{\frac{15}{28}}$ $\sqrt{\frac{1}{12}}$ $-\sqrt{\frac{8}{21}}$ 1/2, 3/2 $\sqrt{\frac{5}{14}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{7}}$

m=1

j=

m1, m2=

4 3 2 1 5/2, -3/2 $\sqrt{\frac{1}{56}}$ $\sqrt{\frac{1}{8}}$ $\sqrt{\frac{5}{14}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 3/2, -1/2 $\sqrt{\frac{15}{56}}$ $\sqrt{\frac{49}{120}}$ $\sqrt{\frac{1}{42}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ 1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{15}{28}}$ $-\sqrt{\frac{1}{60}}$ $-\sqrt{\frac{25}{84}}$ $\sqrt{\frac{3}{20}}$ -1/2, 3/2 $\sqrt{\frac{5}{28}}$ $-\sqrt{\frac{9}{20}}$ $\sqrt{\frac{9}{28}}$ $-\sqrt{\frac{1}{20}}$

m=0	j=
m1, m2=	4 3 2 1 3/2, -3/2 $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ -3/2, 3/2 $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$

j₁=5/2, j₂=2

m=9/2	j=
m1, m2=	9/2 5/2, 2 $1$

m=7/2	j=
m1, m2=	9/2 7/2 5/2, 1 $\frac{2}{3}$ $\sqrt{\frac{5}{9}}$ 3/2, 2 $\sqrt{\frac{5}{9}}$ $-\frac{2}{3}$

m=5/2	j=
m1, m2=	9/2 7/2 5/2 5/2, 0 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $\sqrt{\frac{5}{14}}$ 3/2, 1 $\sqrt{\frac{5}{9}}$ $\sqrt{\frac{1}{63}}$ $-\sqrt{\frac{3}{7}}$ 1/2, 2 $\sqrt{\frac{5}{18}}$ $-\sqrt{\frac{32}{63}}$ $\sqrt{\frac{3}{14}}$

m=3/2

j=

m1, m2=

9/2 7/2 5/2 3/2 5/2, -1 $\sqrt{\frac{1}{21}}$ $\sqrt{\frac{5}{21}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ 3/2, 0 $\sqrt{\frac{5}{14}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{70}}$ $-\sqrt{\frac{12}{35}}$ 1/2, 1 $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $-\sqrt{\frac{2}{21}}$ $-\sqrt{\frac{6}{35}}$ $\sqrt{\frac{9}{35}}$ -1/2, 2 $\sqrt{\frac{5}{42}}$ $-\sqrt{\frac{8}{21}}$ $\sqrt{\frac{27}{70}}$ $-\sqrt{\frac{4}{35}}$

m=1/2

j=

m1, m2=

9/2 7/2 5/2 3/2 1/2 5/2, -2 $\sqrt{\frac{1}{126}}$ $\sqrt{\frac{4}{63}}$ $\sqrt{\frac{3}{14}}$ $\sqrt{\frac{8}{21}}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 3/2, -1 $\sqrt{\frac{10}{63}}$ $\sqrt{\frac{121}{315}}$ $\sqrt{\frac{6}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{105}}$ $-\sqrt{\frac{4}{15}}$ 1/2, 0 $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $\sqrt{\frac{4}{105}}$ $-\sqrt{\frac{8}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{35}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ -1/2, 1 $\sqrt{\frac{20}{63}}$ $-\sqrt{\frac{14}{45}}$ $0$ $\sqrt{\frac{5}{21}}$ $-\sqrt{\frac{2}{15}}$ -3/2, 2 $\sqrt{\frac{5}{126}}$ $-\sqrt{\frac{64}{315}}$ $\sqrt{\frac{27}{70}}$ $-\sqrt{\frac{32}{105}}$ $\sqrt{\frac{1}{15}}$

Enlaces externos

• Calculadora de coeficientes de Clebsch-Gordan online basada en Java, de Paul Stevenson.
• Otras fórmulas de coeficientes de Clebsch-Gordan.