Axiomática conjuntista de Gorbátov

Axiomática conjuntista de Gorbátov es un enfoque axiomático que construye formalmente una teoría de conjuntos sobre la base de axiomas pertinentes, con miras de usar en asuntos de informática.

Axiomática

Axioma de existencia

Existe por lo menos un conjunto.

Axioma de voluminosidad

Llamado también axioma de extensionalidad. Si los conjuntos M_a y M_b se componen de los mismos elementos, ellos coinciden (son iguales): M_a = M_b

Axioma de unión

Para dos conjuntos arbitrarios M_a y M_b existe un conjunto, cuyos elementos son todos los elementos del conjuntos M_a y todos los elementos del conjunto M_b y que no contiene ningún otro elemento.

De los axiomas de voluminosidad y de unión se infiere que para los conjuntos arbitrarios M_a y M_b el conjunto que satisface el axioma de unión es único. La unicidad fluye de lo anterior.

Axioma de diferencia

Para los conjuntos arbitrarios M_a y M_b existe un conjunto, cuyos elementos son aquellos, y solo aquellos, elementos del conjunto M_a que no son elementos del conjunto M_b.

Análogamente, del segundo y cuarto axiomas se deduce que para dos conjuntos arbitrarios existe exactanente un conjunto que contiene los elementos del primer conjunto, no pertenecientes al segundo. Este conjunto se denomina diferencia de M_a y M_b y que se denota M_c = M_a \ M_b

Axioma de potencia

Para cada conjunto M existe una familia de conjuntos B(M) (booleano), cuyos elementos son todos los subconjuntos M_i, M_i ⊂ M, y solamente estos.

Axioma de existencia del conjunto vacío

Existe tal conjunto ∅ que ningún elemento le pertenece.

Otras operaciones con conjuntos

Aunque las operaciones y los conceptos de la teoría de los conjuntos fueron elaborados intuitivamnete, la estructuración axiomática da la oportunidad de definir formalmente estos conceptos y operaciones de la teoría de conjuntos, apoyándonos en los seis axiomas presentados previamente. Con el auxilio de unión y de diferencia, usando los axiomas introducidos , vamos a definir tres operaciones más sobre conjuntos.

Intersección

Se define mediante la fórmula Plantilla:Ecuación Se puede demostrar que los elementos de la intersección $M_a\cap M_a$ son aquellos y únicamente aquellos que son elementos de M_a y además son elementos del conjunto M_b.

Complemento

Esta operación se define por la fórmula Plantilla:Ecuación

Diferencia simétrica

Esta operación se establece usando la fórmual definitoria Plantilla:Ecuación

Propiedades de operaciones

Empleando la axiomática introducida, se puede probar la validez de leyes que se aducen para determinar las propiedades de la signatura del álgebra de conjuntos: las leyes de «idempotencia», «conmutativa», «asociativa», «distributiva» «de operación con constantes », «de complemento doble», «leyes formuladas por De Morgan» y otras más presentadas a continuación:

1. ley distributiva de intersección respecto a la diferencia
2. ley conmutativa de diferencia simétrica
3. ley asociativa de diferencia simétrica
4. ley distributiva de intersección respecto a la diferencia simétrica
5. leyes de encolamiento $(M\cap N)\cup (M\cap N^c)=M$; $(M\cup N)\cap (M\cup N^c)=M$
6. leyes de absorción
7. leyes de Poretski $M\cup (M^c\cap N)=M\cup N$; $M\cap (M^c\cup N)=M\cap N$

Véase también

• Axioma
• Álgebra de Boole
• Conjuntos
• Matemáticas discretas
• Sistema axiomático