Axiomas de separación

Uno de los grados posibles de separación es el de los espacios T₂ o Hausdorff, en que puntos diferentes siempre están separados por abiertos disjuntos.

En topología los axiomas de separación son propiedades que puede satisfacer un espacio topológico en función del grado en que distintos puntos o conjuntos cerrados pueden ser separados por medio de los abiertos de la topología.

Existen varios niveles crecientes de separación que se pueden pedir a un espacio topológico. Suelen denominarse con la letra T (de Trennung, separación en alemán) y un subíndice conveniente. Así aparece una jerarquía de espacios, entre los que cabe destacar a los espacios T₂ o espacios de Hausdorff, los T₃ o espacios regulares y los T₄ o espacios normales.

Salvo para T₀, T₁ y T₂, los nombres de los axiomas de separación no están completamente estandarizados.

Introducción

La definición de topología, en su generalidad, admite estructuras topológicas poco útiles: pensemos en un conjunto X con más de un elemento, dotado con la topología trivial (i.e. sus únicos abiertos son Ø y todo X). Esta topología no contiene abiertos que nos permitan distinguir topológicamente dos puntos diferentes: ambos puntos comparten el único entorno posible. Mirando los entornos abiertos de cada punto nos resulta imposible distinguirlos. Decimos que, a efectos topológicos, X no es diferente de un conjunto de un solo punto dotado de la topología trivial.

Los axiomas de separación son requisitos sobre la topología de un espacio que garantizan la existencia de un número suficiente de conjuntos abiertos como para distinguir topológicamente puntos distintos. Los diferentes grados en que se concreta esta exigencia se plasma en los diferentes axiomas de separación.

Algunos axiomas de separación

Espacios T₀ o de Kolmogórov

Plantilla:AP Un espacio topológico $X$ se llama $T_0$ si y solo si para cualquier par de puntos distintos $x,y\in X$ existe un abierto que contiene uno de los puntos y no contiene el otro punto.

Una equivalencia a esta propiedad es la siguiente: si $x,y$ son elementos del espacio $X$ tales que la clausura de $\{x\}$ y la clausura de $\{y\}$ sean iguales entonces $x=y$

Espacios $T_1$ o Fréchet

Plantilla:AP Un espacio topológico $X$ se dice $T_1$ si y solo si para cualquier par de puntos $x,y$ de $X$ hay un par de conjuntos abiertos $A_1$, $A_2$, tal que $x$ esté en $A_1$, pero no en $A_2$, y además $y$ esté en $A_2$, pero no en $A_1$. Una equivalencia importante es que $X$ es $T_1$ si y solo si los subconjuntos de $X$ formados por un único punto son cerrados.

Espacios $T_2$ o de Hausdorff

Plantilla:AP Un espacio topológico X es de Hausdorff o $T_2$ si y solo si para cualquier par de puntos distintos $x,y$ en $X$ existe un par de abiertos disjuntos que contiene uno a $x$ y otro a $y$.

Estos espacios son especialmente importantes pues además de suponer una gran cantidad de ejemplos (todos los espacios métricos son $T_2$), tienen propiedades fuertes como el que la convergencia de una sucesión o de un filtro, en caso de existir, sea única.

Espacios $T_3$ o regulares

Plantilla:AP Un espacio topológico X es regular si es $T_1$ y para cada punto $x\in X$ y cualquier cerrado $F\subset X$ tal que x no pertenece a F. Entonces existes entornos $U_x$ y $U_F$ tales que su intersección es vacía. Es decir, podemos separar puntos de cerrados.

Espacios completamente regulares y espacios $T_{3\frac{1}{2}}$ o Tychonoff

Un espacio topológico X es completamente regular si para cada punto $x\in X$ y cualquier cerrado $F\subset X$ tal que x no pertenece a F existe una función continua $f:X\to [0,1]$ tal que $f(x)=0$ y $f(F)=1$.

Un espacio topológico X es de Tychonoff si es $T_1$ y completamente regular. También puede designarse como espacio de Hausdorff completamente regular.

Espacios $T_4$ o normales

Un espacio topológico X es normal si es $T_1$ y para cada par de cerrados $F_1,F_2\subset X$ con intersección vacía existen unos entornos que los contengan $U_{F_1}$ y $U_{F_2}$ tal que su intersección sea vacía. Es decir, podemos separar todos los cerrados del espacio. En particular los espacios métricos son normales.

Separación en espacios métricos

Es fácil verificar que $T_{3\frac{1}{2}}\Rightarrow T_3\Rightarrow T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$. Es cierto que $T_4\Rightarrow T_{3\frac{1}{2}}$, aunque esto no es tan evidente, es una consecuencia del Lema de Urysohn. Un espacio métrico $(X,d)$ con su distancia asociada es normal, Tychonoff, regular, Hausdorff, Fréchet y finalmente Kolgomorov. Es importante destacar, para evitar errores, que el recíproco no es cierto.

Veamos que es cierto que todo espacio métrico es normal o $T_4$ y por consiguiente es Tychonoff, regular, Hausdorff, Fréchet y Kolgomorov.

Todo espacio métrico, con su distancia $(X,d)$ es normal.

Demostración: Sean $F_1$ y $F_2$ dos cerrados de un espacio métrico $X$. Para cada $x\in F_1$ sea $r_x=d(x,F_2)$. Análogamente, para cada $y\in F_2$ sea $s_y=d(y,F_1)$. Sea $U=\bigcup _{x\in F_1}{B}_{\frac{r_x}{2}}(x)$, y sea $V=\bigcup _{y\in F_2}{B}_{\frac{s_y}{2}}(y)$. Es claro que tanto U, como V son abiertos, y que $F_1\subset U$ y $F_2\subset V$. Se afirma que $U\bigcap V=\mathrm{\varnothing }$.

Supongamos que es falso, entonces sea $z\in U\bigcap V$. Quiere decir que existen x, y tal que $z\in B_{\frac{r_x}{2}}(x)$ y $z\in B_{\frac{s_y}{2}}(y)$. Pero eso implica que:

$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)<\frac{r_x}{2}+\frac{s_y}{2}\le \max (d(x,F_2),d(y,F_1))\le d(x,y)$

Lo cual es una contradicción: $◻$ (i.e. QED).

Por tanto todos los espacios métricos son normales, y por tanto Tychonoff, regulares, Hausdorff, Fréchet y Kolgomorov.

Enlaces externos

Plantilla:Wikilibros incluyendo espacios topológicos y las propiedades de separación (capítulo 12).