Cúbica de Neuberg

Cúbica de Neuberg del triángulo Plantilla:Math mostrando una de las propiedades definitorias de un punto arbitrario Plantilla:Mvar en la curva

En geometría euclídea, la cúbica de Neuberg es una curva cúbica plana especial asociada con un triángulo de referencia con varias propiedades notables. Lleva el nombre de Joseph Neuberg (1840-1926), un matemático luxemburgués que introdujo por primera vez la curva en un artículo publicado en 1884. La curva aparece como el primer elemento, con el número de identificación K001, en Catalogue of Triangle Cubics de Bernard Gilbert. que es una recopilación de información extensa sobre más de 1200 cúbicas triangulares.Plantilla:ContenidoPlantilla:Clear

Definiciones

La cúbica de Neuberg se puede definir como un lugar geométrico de muchas maneras diferentes. Una forma es definirlo como el lugar geométrico de un punto Plantilla:Mvar en el plano del triángulo de referencia Plantilla:Math de modo que, si las reflexiones de Plantilla:Mvar en las líneas laterales del triángulo Plantilla:Math son Plantilla:Mvar, entonces las líneas Plantilla:Mvar son concurrentes. Sin embargo, es necesario demostrar que el lugar así definido es en realidad una curva cúbica. Una segunda forma es definirlo como el lugar geométrico del punto Plantilla:Mvar de modo que si Plantilla:Mvar son los circuncentros de los triángulos Plantilla:Math, entonces las rectas Plantilla:Mvar son concurrentes. Otra forma más es definirla como el lugar geométrico de Plantilla:Mvar que satisface la siguiente propiedad conocida como "cuadrángulos involutivos" (esta fue la forma en que Neuberg introdujo la curva):

$\left|\begin{array}{ccc}1& B{C}^2+A{P}^2& B{C}^2\times A{P}^2\\ 1& C{A}^2+B{P}^2& C{A}^2\times B{P}^2\\ 1& A{B}^2+C{P}^2& A{B}^2\times C{P}^2\end{array}\right|=0$

Ecuación

Sean Plantilla:Mvar las longitudes de los lados del triángulo de referencia Plantilla:Math. Entonces la ecuación de la cúbica de Neuberg de Plantilla:Math en coordenadas baricéntricas (n-simplex) Plantilla:Math es

$\sum _{\text{cyclic}}[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2{)}^2-2a^4]x(c^2{y}^2-b^2{z}^2)=0$

Otra terminología: curva de 21 puntos, curva de 37 puntos

Neuberg cubic (21-point cubic) of triangle Plantilla:Math showing the 21-point special points on it

En la literatura más antigua, la curva de Neuberg se denomina comúnmente curva de 21 puntos. La terminología se refiere a la propiedad de la curva descubierta por el propio Neuberg de que pasa por ciertos 21 puntos especiales asociados con el triángulo de referencia. Suponiendo que el triángulo de referencia es Plantilla:Math, los 21 puntos se enumeran a continuación.

• Los vértices Plantilla:Mvar
• Los reflejos Plantilla:Mvar de los vértices Plantilla:Mvar en las líneas laterales opuestas
• El altura (triángulo) Plantilla:Mvar
• El circunferencia circunscrita Plantilla:Mvar
• Los tres puntos Plantilla:Mvar donde Plantilla:Mvar es el reflejo de A en la recta que une Plantilla:Mvar}} y Plantilla:Mvar}} donde Plantilla:Mvar}} es la intersección de la mediatriz de Plantilla:Mvar con Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar}} es la intersección de la mediatriz de Plantilla:Mvar con Plantilla:Mvar; Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar se definen de manera similar
• Los seis vértices Plantilla:Mvar de los triángulos equiláteros construidos sobre los lados del triángulo Plantilla:Math
• Los dos centros isogónicos (los puntos X(13) y X(14) en el Enciclopedia de Centros del Triángulo)
• Los dos punto isodinámico (los puntos X(15) y X(16) en la Enciclopedia de centros de triángulos)

La figura adjunta muestra la cúbica de Neuberg del triángulo Plantilla:Math con los 21 puntos especiales mencionados anteriormente.

En un artículo publicado en 1925, B. H. Brown informó sobre su descubrimiento de 16 puntos especiales adicionales en la cúbica de Neuberg, lo que elevaba el número total de puntos especiales conocidos en la cúbica a 37. Debido a esto, a veces también se hace referencia a la cúbica de Neuberg como la Cúbico de 37 puntos. Actualmente, se sabe que en la cúbica de Neuberg se encuentran una gran cantidad de puntos especiales. El Catálogo de Gilbert tiene una página especial dedicada a una lista de puntos especiales que también son centros de triángulos.

Algunas propiedades del cúbico de Neuberg

Cúbico de Neuberg como cúbico circular

La ecuación en coordenadas trilineales de la recta en el infinito en el plano del triángulo de referencia es

$ax+by+cz=0$

Hay dos puntos especiales en esta línea llamados circular points at infinity. Cada círculo en el plano del triángulo pasa por estos dos puntos y cada cónica que pasa por estos puntos es un círculo. Las coordenadas trilineales de estos puntos son

$\begin{array}{cc}& \cos B+i\sin B:\cos A-i\sin A:-1\\ & \cos B-i\sin B:\cos A+i\sin A:-1\end{array}$

donde $i=\sqrt{-1}$. Cualquier curva cúbica que pasa por los dos puntos circulares en el infinito se llama cúbica circular. La cúbica de Neuberg es una cúbica circular.

La cúbica de Neuberg como una cúbica isogonal fundamental

El conjugado isogonal de un punto Plantilla:Mvar respecto de un triángulo Plantilla:Math es el punto de concurrencia de las reflexiones de las rectas Plantilla:Mvar respecto de las bisectrices de Plantilla:Mvar respectivamente. El conjugado isogonal de Plantilla:Mvar a veces se denota por Plantilla:Mvar. El conjugado isogonal de Plantilla:Mvar es Plantilla:Mvar. Una cúbica autoisogonal es una cúbica triangular que es invariante bajo conjugación isogonal. Una cúbica isogonal fundamental es una cúbica en la que los puntos Plantilla:Mvar que se encuentran en la cúbica y sus conjugados isogonales son colineales con un punto fijo Plantilla:Mvar conocido como punto de pivote de la cúbica. La cúbica de Neuberg es una cúbica isogonal fundamental que tiene su pivote en la intersección de Recta de Euler con line at infinity. En la Enciclopedia de centros de triángulos de Kimberling, este punto se denota por X(30).

Neuberg cúbico como pivotol ortocúbico

Sea Plantilla:Mvar un punto en el plano del triángulo Plantilla:Math. Las líneas perpendiculares en Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar intersecan a Plantilla:Mvar respectivamente en Plantilla:Mvar y estos puntos se encuentran en una línea Plantilla:Mvar}}. Sea Plantilla:Mvar}} el polo trilineal de Plantilla:Math. Una cúbica isopivotal es un triángulo cúbico que tiene la propiedad de que hay un punto fijo Plantilla:Mvar tal que, para cualquier punto M de la cúbica, los puntos Plantilla:Math son colineales. El punto fijo Plantilla:Mvar se llama ortopivote de la cúbica. La i cúbica de Neuberg

s una cúbica ortopivotal con ortopivote en el circuncentro del triángulo.

Lectura adicional

• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite journal
• Abdikadir Altintas, Sobre algunas propiedades de Neuberg Cubic
• Plantilla:Cite web